Potencia de serie sin necesidad de continuación analítica

Question

Dado un poder formal de la serie de $\sum a_n z^n$ y un radio de convergencia $R>0$, hay varias maneras de ampliar la función de la frontera, tales como

• El teorema de Abel
• Fatou del lema
• $H^\infty$ teorema.

¿Cuál es un ejemplo de una función que tiene (casi) nada a la frontera? Que el poder de la serie se ha comprobado que no poseen una continuación analítica más allá del radio de convergencia.

Las cosas más locas de lo que puedo construir es un número finito de singularidades esenciales utilizando una función toda $f$, que no es un polinomio, y en busca de algo parecido a $z \mapsto f(1/z)$.

Answer 1

Este es el problema 2 en el Capítulo 2 de Stein & Shakarchi del Análisis Complejo. Se dan dos ejemplos:

$f(z) = \sum_{n=0}^\infty z^{2^n},$

y, por $0 < \alpha < \infty,$

$f(z) = \sum_{n = 0}^\infty 2^{-n \alpha} z^{2^n}.$

El último, de hecho, puede ser extendida de forma continua , pero no de forma analítica a la frontera círculo.

Answer 2

La suma de $f(z) = \sum_{n = 0}^\infty z^{n!}.$ se extiende en ninguna parte fuera de $|z|\lt1$; hay infinitamente muchos puntos en el conjunto de n-ésimo raíces de la unidad en el límite de cada uno de los cuales golpe, hasta el infinito; el conjunto de n-ésimo raíces es denso en el límite de $|z|=1$, por lo que la serie no se puede exprimir en cualquier lugar.