Son bimodules sobre un anillo conmutativo siempre los módulos?

Question

Deje $R$ ser un anillo conmutativo. Es cierto que cada módulo a través de $R$ $(R,R)$- bimodule. Es a la inversa verdad? En otras palabras, es posible que hay un $R$-módulo donde a la izquierda de la multiplicación y a la derecha de la multiplicación no co-incide?

Pensé que tal vez un contraejemplo sería de la siguiente forma. Si $S$ $R$- álgebra, si se forma el producto $S \otimes_R S$ y piense en ello como una $S$-módulo donde la multiplicación es dado por $s(s' \otimes s'') = ss' \otimes s''$$(s' \otimes s'') s = s' \otimes s''s$. Si podemos elegir el elemento adecuado $s$ es posible que aquellos dos tensores no son iguales. No puedo encontrar ningún tipo de contraejemplos, aunque. Si usted hace esto con $\mathbb{Q} \otimes_\mathbb{Z} \mathbb Q$, por ejemplo, no funciona.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Como Zhen Lin comentarios de arriba, el recíproco no es cierto. Para otro ejemplo, supongamos $S$ es un anillo que contiene a $R$ como un sub-anillo conmutativo tal que $R$ no está en el centro de la $S$. A continuación, $S$ es, naturalmente, una $(R,R)$-bimodule de usar el anillo de la multiplicación en $S$. Pero si $R$ no está en el centro de la $S$ entonces existe $r \in R$, $s \in S$ tal que $rs \neq sr$. Así que la izquierda y a la derecha las acciones no están de acuerdo.

Para un ejemplo simple, tome $R$ a ser el sub-anillo de la diagonal de las matrices en la matriz de anillo de $\mathbb{M}_n(k)$ para un campo $k$$n \geq 2$.

Answer 2

Complementa otras respuestas y comentarios: en primer lugar, me gustaría argumentar en contra de la idea de que "izquierda" y "derecha" han contenido genuino, pero me gustaría argumentar en favor de pensar de estos como indíquense los artefactos de nuestra izquierda a derecha sistema de escritura, etc. (Yo me acordé de nuevo de Herstein la promoción de la escritura de funciones en el derecho de sus argumentos, al menos en inglés.)

E. g., una $R,S$-bimodule la propiedad principal es que el $R$-acción y $S$-acción conmuta con cada uno de los otros, y que el orden de la multiplicación en la $S$ es "hacia atrás", por lo que (en inglés, con la izquierda-a-derecha convenios) $R,S$- bimodule es equivalente a ("izquierda") $R\otimes S^{\rm opp}$-módulo, con el "frente" del anillo.

Es cierto que a veces los métodos de representación de la izquierda y la derecha son mnemonically útil, pero su contenido no debe ser sobreestimado.

"Incluso" en busca de $Hom_?(M,N)$ con los no-conmutativa $R$, $S,R$-bimodule $M$, e $R,T$-bimodule $N$, la "izquierda/derecha" estructuras podría ser mejor llamado pre-composición y/o post-composición y tal, en referencia a la más básica de la convención de la orden de composición de funciones: las personas más cercanas que el argumento se aplica por primera vez. Por suerte, el $M\otimes_R N$ estructuras son más directamente correctamente sugerido por izquierda-derecha de las convenciones, pero, aún así, se puede convertir a otras expresiones, como se señaló anteriormente.

Edit: olvidé de destacar que la asociatividad es, o debería, si se hace bien, en todos estos set-ups. Por lo que el $(rm)s=r(ms)$ principio debería no ser algo que uno es de preocuparse en la cara de todos los otros problemas.

Answer 3

Para un anillo conmutativo $R$, es que no es cierto que todos los $R$ módulo es un bimodule. (Se que posiblemente pensando que los módulos que están a la izquierda y a la derecha $R$ módulos se denominan "bimodules"? Este no es el caso...)

Mariano Suárez-Alvarez dio un ejemplo aquí: Una $R$ módulo de e $S$ módulo que no puede ser un $R$-$S$ bimodule de una izquierda $R$ $S$ módulo que no es un $R-S$ bimodule. En su ejemplo hizo su $R\neq S$, pero no veo por qué esto es necesario, porque él sólo se utiliza dimensionalidad en sus argumentos. Así que, creo que se puede reemplazar $S$ en el ejemplo con otra copia de $R$, y aún así tener un contraejemplo.

También muestran que la izquierda y a la derecha las acciones de $R$ no son lo mismo.

Por encima de cualquier anillo es trivial que cualquier $R-R$ bimodule es un módulo de la izquierda y una a la derecha en el módulo $R$. Es sólo la restricción de la bimodule acción a un lado.

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Me engañaba a mí mismo con la primera declaración, y no veo la simple reclamación sobre $R$ módulos. Sí, todos los $R$ módulo tiene el "ingenuo" $R-R$ bimodule estructura. Perdón por la distracción! Creo que el resto de mi respuesta se refiere a su pregunta, aunque! Se produce módulo independiente de las acciones que no conmutan.

Answer 4

Un poco más complicado, pero moderno ejemplo: supongamos $A$ $B$ ser curvo $A_\infty$ álgebra de operadores diferenciales o graduales de la curva álgebras y $M$ ser un $A$-$B$-$A_\infty$-bimodule (dg curva álgebras aparecen de forma natural en Hochschild la teoría y la física teórica).

De ello se desprende que $M$ no está ni a la izquierda $A_\infty$-$A$-módulo ni tampoco un derecho $A_\infty$-$B$-módulo debido a la inclusión de las curvaturas en $A$ $B$ $A_\infty$ módulo de relaciones.

Más simple aún, si $A$ es un dg curva de álgebra, entonces no es una izquierda dg $A$-módulo, de un derecho de la dg $A$-módulo o un dg $A$-$A$-bimodule.