Punto de Derivación en un Álgebra de

Question

Quiero resolver el siguiente ejercicio.

Dejar que Un ser $\mathbb{R}$-álgebra. Un $derivation$ es $\mathbb{R}$-lineal mapa de $D: A \to A$ obedeciendo la regla de Leibniz $$ D(ab) = D(a, b) + aD(b) $$ para todos los $a,b \in A$.

Ahora sea M un manifold. Muestran que el álgebra $$ C(M) = \{ f: M \to \mathbb{R} : f \textrm{ continua } \} $$ no tiene no trivial derivaciones, es decir, por cada lineal mapa de $D : C(M) \to C(M)$ obedeciendo la regla de Leibniz, se deduce que el $D = 0$.

Sugerencia: el Uso que cada $f \ge 0$ puede ser escrito como un cuadrado.

Tengo algunas dificultades en la comprensión. Actualmente estoy leyendo acerca de los colectores y de la tangente de los espacios, y he leído que el espacio de la tangente puede ser definido como el espacio de todos los punto de derivaciones $D : C^{\infty}(M) \to \mathbb{R}$, pero este espacio es más que el trivial derivación $D = 0$, hace una gran diferencia si estoy considerando suave comparado con funciones continuas? Y en el ejercicio, cómo se hace la sugerencia que me ayude? Puedo escribir todos los $f \ge 0$$(\sqrt{f})^2$, y, a continuación, $$ D(g^2) = 2gD(g) = gD(g+g) $$ con $g = \sqrt{f}$, no se sigue que la $D = 0$?.

Answer 1

Primera $D(const)=0$, por lo que podemos suponer $f(z_0)=0$. (o puede utilizar $D(f)=D(f-f(z_0))$).

A continuación,$D(f)|_{z_0}=2D(\sqrt f)|_{z_0}(\sqrt f)|_{z_0}=0$$\sqrt f|_{z_0}=\sqrt0=0$.

Answer 2

Es claro a partir de la definición que $D(1) = D(1.1) = 2 D(1)$, por lo tanto $D(1) = 0$. Además, en una manera similar, tenemos $D f^2 (x) = 2 f(x) D f (x)$. A partir de esto, hemos $D |f| (x) = 2 \sqrt{|f(x)|} D \sqrt{|f|} (x)$

Elija $c\in \mathbb{R}$, y vamos a $f_{c,+} (x) = \max (f(x), c)$, $f_{c,-} (x) = \min (f(x), c)$. Para cualquier $x, c$ tenemos $f(x) = f_{c,+} (x) + f_{c,-} (x)$, y tanto $f_{c,+}, f_{c,-}$ son continuas. Claramente $f_{c,+}(x) \geq c$, $f_{c,-}(x) \leq c$ para todos los $x$.

Por linealidad, tenemos $D f = D f_{c,+} + D f_{c,-}$. Además, hemos $D f_{c,+}(x) = D (f_{c,+}-c)(x) = (2 \sqrt{f_{c,+}(x)-c} ) D (\sqrt{f_{c,+}-c}) (x)$. De ello se desprende que $D f_{f(x_0),+}(x_0) = 0$, para cualquier $x_0$. Del mismo modo (el uso de $-D f_{c,-}(x) = D (c-f_{c,-})(x)$), obtenemos $D f_{f(x_0),-}(x_0) = 0$. En consecuencia, hemos $D f (x_0) = D f_{f(x_0),+}(x_0) + D f_{f(x_0),-}(x_0) = 0$. Desde $x_0$ fue arbitrario, tenemos $Df = 0$. Desde $f$ fue arbitraria, $D = 0$.