Demuestra por contradicción que todo número entero mayor que 11 es una suma de dos números compuestos

Question

He pensado mucho pero no consigo llegar a nada alentador.

Primer intento: Si esto se va a demostrar por contradicción, entonces empiezo con la suposición de que dejemos $n$ es un número que es la suma de dos números, de los cuales al menos uno es primo. Esto da $n = p + c$ , donde $p$ es el número primo y $c$ es el número compuesto. Además, cualquier número compuesto se puede escribir como un producto de primos. Así que puedo decir, $n = p + p_1^{e_1}.p_2^{e_2}...p_k^{e_k}$ . De esto, obtengo $n - p = p_1^{e_1}.p_2^{e_2}...p_k^{e_k}$ pero no tengo ni idea de qué hacer a continuación.

Segundo intento: Por un instante déjame olvidar la contradicción. Ya que $n > 11$ Puedo decir que $n \geq 12$ . Esto significa que $p \geq 6$ o $c \geq 6$ . De nuevo, no estoy seguro de qué hacer a continuación.

Por último, considera que el número 20 puede expresarse de tres maneras diferentes: $17+3$ (ambos primos), $16+4$ (ambos compuestos), y $18+2$ (un primo y un compuesto). Esto hace que me pregunte qué estamos tratando de demostrar.

El libro de texto contiene una pista: "¿Pueden los tres $n-4$ , $n-6$ , $n-8$ ser primordial?", pero estoy seguro de que lo que es tan especial de $4, 6, 8$ aquí.

Answer 1

Spoiler #1

Puedes escribir $n = (n - \varepsilon) + \varepsilon$ , donde $\varepsilon \in \{4, 6, 8\}$ .

Spoiler #2

$n - \varepsilon > 3$ , como $n > 11$ .

Spoiler #3

Uno de los tres números $n - \varepsilon$ es divisible por $3$ ya que son distintos módulo $3$ .

Answer 2

¿Qué te parece esta solución?

Si $n$ es par, entonces $n$ es de la forma $2k$ donde $k \geq 6$ . Por lo tanto, $n = 2(k-4) +8$ .

Y si $n$ es impar, entonces $n$ es de la forma $2k+1$ donde $k\geq5$ . por lo tanto $n = 2(k -4) +9$ .

Así, cualquier número $> 11$ ¡¡puede expresarse como la suma de dos números compuestos!!

Answer 3

Digamos que el número entero $n>11$ no puede expresarse como la suma de dos números compuestos. Entonces:

• $n=a+p$ (p es un número primo y a es un número compuesto o primo)

Números pares mayores que $2$ son compuestos.

El número de números pares menores o iguales que $n$ es $[\frac{n-2}{2}]$ (¿Por qué?).

Dijimos que $n$ no puede expresarse como la suma de dos números compuestos, entonces tiene que haber $[\frac{n-2}{2}]$ números primos al menos(¿Por qué?).

Pero este resultado no puede mantenerse para $n\geq 30$ una contradicción.

Answer 4

Sólo 9 números pares mayores que 4 no pueden expresarse como la suma ORDENADA de dos compuestos Impares, a saber, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 22, 32, 38.

Mira las 4 identidades: 1. pp(2n)=pr[2,n]-pc(2n) 2. cc(2n)=c[2,n]-cp(2n) 3. pp(2n)=pr[n,2n-2]-cp(2n) 4. cc(2n)=c[n,2n-2]-pc(2n)

donde pp(2n)=número de sumas ordenadas de 2 primos=2n, cc(2n)=número de sumas ordenadas de 2 compuestos=2n, cp(2n)=número de sumas ordenadas de 1 compuesto y 1 primo (en ese orden)=2n, y pc(2n)= número de sumas ordenadas de 1 primo y 1 compuesto (en ese orden)=2n, y a+b es una suma ordenada si a< o = a b, pr[a,b] = número de primos en [a,b], c[a,b] = número de compuestos en [a,b]

Hay muchas otras identidades que se pueden construir a partir de las 4 anteriores: diviértete jugando.