Si W es un subespacio, ¿también es un espacio lineal? Si V es un espacio lineal, ¿también es un subespacio? Me cuesta entender la diferencia entre los dos, ya que parece que la forma en que el libro los define es la siguiente: ambos deben tener un elemento cero (neutro), ambos están cerrados bajo la suma y la multiplicación escalar. ¡Gracias!
Respuestas
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La principal diferencia entre referirse a un espacio vectorial como un espacio lineal o como un subespacio es, como era de esperar, el contexto.
Cuando se habla de un "subespacio", se está pensando en él como estando "dentro" de otro espacio vectorial, con las operaciones heredadas. Por lo tanto, si nos referimos al conjunto de todos los polinomios de grado a lo sumo $2$ con coeficientes en $\mathbb{R}$ como un "subespacio del espacio vectorial de todos los polinomios" (nota que subespacio es un término relacional; algo es un subespacio de algo más, aunque el "algo más" puede quedar implícito o entenderse a partir del contexto), entonces no estamos simplemente pensando en este conjunto como un espacio vectorial, sino que lo consideramos como un espacio vectorial que está dentro de un espacio vectorial más grande. Por otro lado, si nos referimos al conjunto como "el espacio vectorial de todos los polinomios de grado a lo sumo $2$ con coeficientes en $\mathbb{R}$", entonces realmente no estamos interesados en el hecho de que esté dentro de un espacio vectorial más grande, sino que queremos considerarlo como un espacio vectorial en sí mismo.
Hacemos eso en teoría de conjuntos todo el tiempo, ya que un conjunto puede ser un conjunto o un subconjunto de algo más. Los números naturales forman un conjunto, y nos referimos a "el conjunto de los números naturales" cuando nos enfocamos exclusivamente en los números naturales; por otro lado, a veces queremos pensar en los números naturales y su relación con el conjunto más grande de racionales o números reales, por lo que podemos hablar del "subconjunto de los números reales que consiste en los números naturales".
Ahora bien, cada espacio vectorial es un subespacio de sí mismo; cada subespacio de un espacio vectorial es en sí mismo un espacio vectorial (con las operaciones heredadas). Entonces, llamarlos "espacio" o "subespacio de " es completamente una cuestión de si queremos enfocarnos en el objeto en sí mismo o considerarlo en contexto con algo más.
tenfour
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Creo que parte de tu confusión puede deberse a ser un poco impreciso en lo que estás diciendo. Generalmente se dice que W es un subespacio de V. Para significar que W es un subconjunto de V que contiene 0 y que está cerrado bajo las operaciones de suma y multiplicación escalar que fueron definidas para V.
Tu segunda pregunta (¿Si V es un espacio lineal, también es un subespacio?) es un poco difícil de responder porque no especificaste de qué es un subespacio V. Trivialmente, V es un subespacio de sí mismo, pero no creo que eso sea lo que quisiste decir.
Consideremos un ejemplo geométrico. Considera los espacios vectoriales $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^{2}$ definidos de la forma habitual. Intuitivamente, muchas personas quieren decir que $\mathbb{R}$ es un subespacio de $\mathbb{R}^{2}$, pero esto es técnicamente incorrecto. En su lugar decimos que $\mathbb{R}$ es isomorfo a cualquier subespacio de 1 dimensión de $\mathbb{R}^{2}$.
Espero que esto aclare los dos conceptos. En cuanto a por qué nos preocupamos por el concepto de 2 definiciones diferentes, podemos considerar un conjunto de ecuaciones lineales homogéneas (cosas como 2x+3y+4z=0, el 0 en el lado derecho es lo que las hace homogéneas) en, digamos $\mathbb{R}^3$ y notar que su conjunto de soluciones formaría un subespacio de $\mathbb{R}^3$
Gavin
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Sí, un subespacio es un espacio en sí mismo. Las condiciones requeridas para un subespacio $+$ las condiciones que el subespacio hereda del espacio lo convierten en un espacio por derecho propio.
Deberías revisar aquí.
¿Por qué son importantes? Un subespacio vive dentro de un espacio. El hecho de que tenga en sí todas las buenas propiedades de un espacio lo hace interesante. Por ejemplo, si tienes un espacio $V$ y tu subespacio $W$ está generado por vectores linealmente independientes $v_1, v_2, ... , v_k$, entonces cualquier vector que sea una combinación lineal de estos $k$ vectores también pertenece al mismo subespacio.
(Lo siento por esos comentarios, presioné enter accidentalmente)
