El Lema de Zorn en noetherian módulos

Question

Para noetherian módulos, tenemos, en particular, el equivalente de las definiciones que el Ascendente de la Cadena de Condición mantiene y que todo subconjunto no vacío de submódulos tiene un elemento maximal.

Ahora puedo probar el "ACC $\Rightarrow$ cada conjunto no vacío de submódulos tiene un elemento maximal" implicación por el siguiente argumento:

Deje $S$ ser un conjunto no vacío de submódulos, tome $N_1 \in S$. Si $N_1$ no es maximal, existe un $N_2 \supsetneq N_1$, por definición. Por inducción obtenemos una cadena de $N_1 \subsetneq N_2 \subsetneq \dotsb$ y ACC esta inducción termina después de un número finito, decir $n$, pasos. A continuación, $N_n$ es máxima.

Mi pregunta es: ¿se me olvida el uso del Lema de Zorn en algún lugar? Esta prueba parece que no lo uso, y el otro implicaciones en cuanto a la equivalencia de funcionar bien sin él también, sin embargo, he visto algunas de las fuentes (por ejemplo, Wikipedia, primera respuesta aquí: Es cada Noetherian módulo finitely generado?) que lo requieran. Estoy de acuerdo con el Lema de Zorn por cierto, acaba de sentir un poco estúpido ahora.

Answer 1

Debo decir que el argumento parece bien a mí.

Suponiendo que no hay módulo en $S$ es máxima, se puede construir una secuencia $N_0\subsetneq N_1\subsetneq\ldots$, lo que contradice la ACC condición.

Pero tenga en cuenta que usted necesita el axioma de elección para la construcción de la secuencia, ya que no es obvio en absoluto cómo elegir los módulos.

De hecho, sólo el dependiente de la elección es necesaria.

Answer 2

Esto es particularmente delicada, el uso del axioma de elección. Históricamente, el principio de la dependiente de la elección, que se usa exactamente para este tipo de construcciones inductivas, se pasan por alto algunos de los más grandes de personas que se oponían a el axioma (por ejemplo, Lebesgue).

Cuando construimos una secuencia de inducción, sólo podemos asegurar que para cada número finito $n$, se puede construir una secuencia de longitud $n$. El axioma de elección, o en lugar de la mucho más débil principio de dependiente de la elección, es necesario demostrar la existencia de una secuencia infinita de eso.

El lema de Zorn se utiliza de la siguiente manera. Cada cadena es finita, por lo que tiene un límite superior. Así que hay un elemento maximal.