Intuitivo el razonamiento detrás de la Regla de la Cadena en varias variables?

Question

Yo he llegado a una comprensión de la regla de la Cadena con una variable. Si usted va de excursión a una montaña a 2 pies de una hora, y la temperatura disminuye en 2 grados por los pies, la temperatura disminuye para usted en $2\times 2 = 4$ grados por hora.

Pero estoy teniendo un poco más de dificultad para la comprensión de la Regla de la Cadena como se aplica a múltiples variables. Incluso en el caso de 2 dimensiones

$$z = f(x,y),$$

donde$x = g(t)$$y = h(t)$, por lo que

$$\frac{dz}{dt} = \frac{dz}{dx} \frac{dx}{dt} + \frac{dz}{dy} \frac{dy}{dt}.$$

Ahora, esto es bastante fácil de "calcular" (y averiguar lo que va a donde). Mi maestro me enseñó una casa de árbol gráfica basada en el método para calcular las derivadas parciales usando la regla de la cadena. Todo-en-todo, era más bien a mano ondulados. Sin embargo, no estoy seguro exactamente cómo funciona esto, de una forma intuitiva.

Por qué, de manera intuitiva, es la ecuación anterior verdad? Por qué , además? ¿Por qué no la multiplicación, como la otra regla de la cadena? ¿Por qué algunos se multiplicaron y algunos añadidos?

Answer 1

La razón básica es que uno es simplemente componer los derivados como uno compone de las funciones. Los derivados son aproximaciones lineales de las funciones. Al redactar las funciones que componen el aproximaciones lineales---no es una sorpresa.

Voy a tratar de ampliar Harry Gindi la respuesta, porque esa era la única manera de que yo pueda asimilar, pero en algo términos más sencillos. La forma de pensar de un derivado en múltiples variables, es como una aproximación lineal. En particular, vamos a $f: R^m \to R^n$$q=f(p)$. A continuación, cerca de $p$, podemos escribir $f$ $q$ básicamente algo lineal, además de algunos "ruido", que "no importa" (es decir, es poco oh de la distancia a $p$). Llamar a este lineales mapa de $L: R^m \to R^n$.

Ahora, supongamos $g: R^n \to R^s$ es algún mapa y $r = g(q)$. Podemos aproximar $g$ cerca de $q$ $r$ además de algunos lineal mapa de $N$ además de algunos "basura", que es, de nuevo, pequeño.

Para simplificar, voy a asumir que $p,q,r$ son todos cero. Esto está bien, porque uno puede apenas moverse del origen de todo un poco.

Así que, como antes, la aplicación de $f$ a un punto cerca de cero corresponde vagamente a la aplicación de la transformación lineal $L$. La aplicación de $g$ a un punto cerca de cero corresponde vagamente a la aplicación de $N$. Por lo tanto la aplicación de $g \circ f$ corresponde a algunos ignorables "basura" a la mapa $N \circ L$.

Esto significa que $N \circ L$ es la aproximación lineal a $g \circ f$ a cero, en particular, esta composición es la derivada de la $g \circ f$.

Answer 2

Pensar en términos de causalidad y la superposición.

z = f(x,y)

Si sigues x fijo, a continuación, dz/dt = df/dx * dx/dt, y si mantiene fijo y, a continuación, dz/dt = df/fy * dy/dt. Superposición dice que sólo tiene que añadir los dos juntos.

Answer 3

El cambio de tiempo es el mismo como el cambio de x y el cambio de y. Si los cambios de cada uno causado en z no interactúan, a continuación, el cambio total sería la suma de ambos cambios. Si la función se porta bien (differentiatable), a continuación, la interacción causada por un cambio infinitesimal en x con un cambio infinitesimal en y será doblemente infinitesimal. La prueba de la doble regla de la cadena solo se muestra esta formalmente.