La evaluación de $\int_0^{\infty } \frac{x^{\alpha}}{\left(A+x^3\right) \left(B+e^x\right)} \, \mathrm dx \quad \alpha = \frac{9}{2},3,\cdots $

Question

Estoy en busca de una solución analítica de las siguientes dos integrales

$$\int_0^{\infty } \frac{x^{9/2}}{\left(A+x^3\right) \left(B+e^x\right)} \, \mathrm dx$$

y

$$\int_0^{\infty } \frac{x^3}{\left(A+x^3\right) \left(B+e^x\right)} \, \mathrm dx$$

con

$$A,B\in\mathbb{R} \land A,B\geq0$$

Wolfram Alpha da por desgracia. Para

$B=0$

existen soluciones.

Estas integrales tienen una formación en la física. Ellos son el resultado de la Cronwell-Weisskopf aproximación de calcular la energía promedio de dopaje de la dispersión de veces para obtener la función dieléctrica de un semiconductor dopado. La costumbre de la teoría está basada en la no-degenerada estadísticas, mientras que yo estoy trabajando en una aplicación usando degenerados estadísticas (necesarios para el alta de dopaje de las concentraciones). Dentro de este marco el anterior integrales ocurrir.

Answer 1

\begin{align*} \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{(A+x^{3})(B+e^{x})} \, dx &= \int_{0}^{\infty} \frac{A+x^{3}-A}{(A+x^{3})(B+e^{x})} \, dx \\ &= \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{B+e^{x}} - \int_{0}^{\infty} \frac{A}{(A+x^{3})(B+e^{x})} \,dx \end{align*} El mismo truco se puede aplicar para la primera integral.

Answer 2

La aplicación de la expansión de $$ \left( {{\rm e}^{x}}+B \right) ^{-1}= \sum _{k=0}^{\infty }{\frac { \left( -{{\rm e}^{-x}} \right) ^{k}{B}^{ k}}{{{\rm e}^{x}}}}, B>0,B<1,x \ge 0, $$ the integral $$\int_0^{\infty } \frac{x^3}{\left(A+x^3\right) \left(B+e^x\right)} \, \mathrm dx $$ is reduced to the series of the integrals $$\int_0^\infty \frac {(-1)^kx^3 e^{-\left( k+1 \right) x}B^k} {A+x^3}\,dx$$ que se calcula mediante Arce en forma cerrada. Ver la salida de aquí.

PS. Lo mismo con $x^{9/2}$ en lugar de $x^3 .$