Kummer la prueba de Tornasol, Apostol, 10.16 #15.

Question

Quiero probar lo siguiente:

Deje $\{ a_n \}$ $\{ b_n \}$ dos secuencias con $a_n>0$ $b_n>0$ todos los $n \geq N$, y deje $$c_n = b_n - \frac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_n}$$

Entonces

1. Si no existe $r>0$ tal que $0<r\leq c_n \text{ ; } \forall n\geq N$ $\displaystyle\sum a_n$ converge.
2. Si $c_n\leq0$ $n\geq N$ e si $\displaystyle\sum \dfrac{1}{b_n}$ diverge, entonces también lo hace $\displaystyle\sum a_n$.

Hasta ahora sé cómo usar y probar de Cauchy, D'Alambert y la integral de criterio, así que me gustaría una sugerencia en el uso de esos o una nueva idea. El libro sugiere que para $1$, me muestran que

$$\sum\limits_{k = N}^n {{a_k} \leq \frac{{{a_N}{b_N}}}{r}} $$

y para $2$, para demostrar que $\displaystyle\sum a_n$ domina $\displaystyle\sum \dfrac{1}{b_n}$

Me gustaría probar esta con la anterior teoría de la convergencia de series (de Cauchy y/o D'Alambert del preferiblemente, la prueba de comparación), ya que es lo precede el problema y appreaciate grandes CONSEJOS en lugar de respuestas.

Me parece que no puede entender las desigualdades. Quiero decir, Cauchy y D'Alambert criterios del revelan que la prueba se basa en el hecho de que una serie geométrica con relación $|r| < 1$ converge, pero no puedo entender la motivación en esta prueba.

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Resumiendo el trabajo.

Para 1:

$$\eqalign{ & {b_N} = {c_N} + \frac{{{a_{N + 1}}}}{{{a_N}}}{b_{N + 1}} \cr & {b_N} = {c_N} + \frac{{{a_{N + 1}}}}{{{a_N}}}{c_{N + 1}} + \frac{{{a_{N + 2}}}}{{{a_N}}}{b_{N + 2}} \cr & {b_N} = {c_N} + \frac{{{a_{N + 1}}}}{{{a_N}}}{c_{N + 1}} + \frac{{{a_{N + 2}}}}{{{a_N}}}{c_{N + 2}} + \frac{{{a_{N + 3}}}}{{{a_N}}}{b_{N + 3}} \cr} $$

Inducción sobre $n$ tenemos

$${b_N} = {c_N} + \frac{{{a_{N + 1}}}}{{{a_N}}}{c_{N + 1}} + \frac{{{a_{N + 2}}}}{{{a_N}}}{c_{N + 2}} + \cdots + \frac{{{a_{N + n}}}}{{{a_N}}}{c_{N + n}} + \frac{{{a_{N + n + 1}}}}{{{a_N}}}{b_{N + n + 1}}$$

Así

$$\eqalign{ & {b_N} \geqslant r\left( {1 + \frac{{{a_{N + 1}}}}{{{a_N}}} + \frac{{{a_{N + 2}}}}{{{a_N}}} + \cdots + \frac{{{a_{N + n}}}}{{{a_N}}}} \right) + \frac{{{a_{N + n + 1}}}}{{{a_N}}}{b_{N + n + 1}} \cr & {b_N} > r\left( {1 + \frac{{{a_{N + 1}}}}{{{a_N}}} + \frac{{{a_{N + 2}}}}{{{a_N}}} + \cdots + \frac{{{a_{N + n}}}}{{{a_N}}}} \right) \cr & \frac{{{a_N}{b_N}}}{r} > {a_N} + {a_{N + 1}} + {a_{N + 2}} + \cdots + {a_{N + n}} = \sum\limits_{k = N}^n {{a_k}} \cr} $$

Como se desee.

Answer 1

He aquí una sugerencia para (1):

$$\begin{align*}b_N &= c_N + \frac{a_{N+1}b_{N+1}}{a_N}\\ &=c_N+\frac{a_{N+1}}{a_N}\left(c_{N+1}+\frac{a_{N+2}b_{N+2}}{a_{N+1}}\right)\\ &=c_N+\frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot c_{N+1}+\frac{a_{N+2}}{a_N}\cdot b_{N+2}\\ &=c_N+\frac{a_{N+1}}{a_N}\cdot c_{N+1}+\frac{a_{N+2}}{a_N}\cdot c_{N+2}+\frac{a_{N+3}}{a_N}\cdot b_{N+3}\\ &\ge r\left(1+\frac{a_{N+1}}{a_N}+\frac{a_{N+2}}{a_N}\right)+\frac{a_{N+3}}{a_N}\cdot b_{N+3}\tag{why?}\\ &=\frac{r}{a_N}(a_N+a_{N+1}+a_{N+2})+\frac{a_{N+3}}{a_N}\cdot b_{N+3}\\ &>\frac{r}{a_N}(a_N+a_{N+1}+a_{N+2})\;.\tag{why?} \end{align*}$$

Generalizar para obtener un límite superior en las sumas parciales de $\sum a_n$.

Añadido: Una sugerencia para (2): si $$b_n\le\frac{a_{n+1}b_{n+1}}{a_n}\;,$$ then $$\frac{a_n}{1/b_n}=a_nb_n\le a_{n+1}b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{1/b_{n+1}}\;.$$

Answer 2

Desde $a_{n} > 0$$c_{n}\ge r$, tenemos $$ a_{k}b_{k} - a_{k+1}b_{k+1} \ge r a_{k}. $$ Resumiendo de$k=N$$k=n$, $$ \sum_{k=N}^{n}\left(a_{k}b_{k}-a_{k+1}b_{k+1}\right) \ge r\sum_{k=N}^{n}a_{k}. $$ El lado izquierdo es una suma telescópica, produciendo $$ \sum_{k=N}^{n}a_{k} \le \frac{a_{N}b_{N} - a_{n+1}b_{n+1}}{r}. $$ Desde $a_n, b_n >0$, se obtiene la deseada límite superior: $$ \sum_{k=N}^{n}a_{k}\le\frac{a_{N}b_{N}}{r}. $$

La segunda desigualdad puede ser deducido por la misma moda.

Answer 3

Mira la expresión de $c_n$ nuevo. No de la manera en la $a_n$ e las $a_{n+1}$ están dispuestos recordarle de una prueba en particular? Intenta hacer ciertas suposiciones acerca de la $\{c_n\}$ y ver si se puede configurar a continuación, algunas de las desigualdades de su propio. Además, la desigualdad en 1. simplemente dice $\forall n \geq N,\ c_n > 0.$ Manteniendo esto en mente, enumerar las distintas posibilidades para la relación$a_n \over a_{n+1}$$b_n$$b_{n+1}$.