La pregunta es $$\text{If }\, p, \ q\in \mathbb{N}, \;1-\frac12+\frac13-\frac14-\dotsb-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}=\frac{p}{q}.\qquad \text{Prove that } 1979\mid p.$$
Así que mi solución fue como este:
$$S=1-\frac12+\frac13-\frac14-\dotsb-\frac{1}{1318}+\frac{1}{1319}\Rightarrow S=\sum_{k=1}^{1319}\frac{1}{k}-2\sum_{k=1}^{659}\frac{1}{2k}=\sum_{k=660}^{1319}\frac{1}{k}$$ Ahora esto es equivalente a encontrar la suma de las raíces de la ecuación de $$\left(x-\frac{1}{660}\right)\left(x-\frac{1}{661}\right)\dots \left(x-\frac{1}{1319}\right)=0$$.
Reescribir esta ecuación, obtenemos $(660x-1)(661x-1)\dotsc(1319x-1)=0$ (podemos descartar la $\displaystyle \frac{1319!}{659!}$ desde $1979$ es una de las principales). El cálculo de la suma de las raíces, podemos obtener el valor requerido para ser igual a $(1320+659)\times 330$ que obviamente es divisible por $1979$ (de nuevo, descartando la coeffecient de $x^{660}$).
Ahora mi pregunta es: Utilizando el mismo método de convertir el problema en la búsqueda de la suma de las raíces de un polinomio, se obtiene de la ecuación original algo como esto: $$(x-1)\left(x+\frac{1}{2}\right)\dots \left(x-\frac{1}{1319}\right)=0 \Rightarrow (x-1)(2x+1)\dotsc(1319x-1)=0$$
Así, la suma de las raíces serían $-1+2-3+4-\dotsc+1318-1319=-660$, Pero esto no es divisible por $1979$. ¿Por qué el ex de la solución de trabajo, mientras que el último no? Hay un error en mi razonamiento?
Nota: sé que la pregunta puede ser resuelto por otros métodos. Por favor, sólo explicar mi dada dudas y no en lugar de dar otra solución
Me di cuenta de mi error después de algunas horas de meditar sobre él.
(En la 1ª ecuación) Para obtener la necesaria suma que tendría que tomar calcular el $\displaystyle -\frac{\text{coeffecient of }x^{659}\,}{\text{coeffecient of }x^{660}}$. Sin embargo, lo que hemos hecho es calcular esto: $\displaystyle -\frac{\text{ coeffecient of }x}{\text{coeffecient of }x^{660}}$ que en realidad es igual a $\text{sum of roots taken }659 \text{ at a time} $. Fue sólo una coincidencia que el valor calculado fue divisible por $1979$.
La manera correcta, de hecho, sería a través del enlace proporcionado arriba
