El fin de la centralizador de una permutación

Question

Dada una permutación $\sigma\in S_{n}$, hay una manera de saber el orden de los centraliser $C_{S_{n}}\left(\sigma\right)=\left\{ \pi\in S_{n},\,\pi\sigma=\sigma\pi\right\}$ , yo.e ¿qué es $\left|C_{S_{n}}\left(\sigma\right)\right|$?

Agradecería una prueba si la respuesta es sí.

También, si la respuesta anterior es sí, ¿hay una manera de calcualte el orden de la centraliser de un determinado subconjunto de $S_{n}$, o al menos por un par de permutaciones?

Answer 1

Deja que el permutaciones ley por la conjugación de la permutación y buscan el tamaño de la estabilizador de $\sigma$. Por la órbita-estabilizador de teorema, es suficiente para saber el tamaño de la órbita, que es el bien conocido el tamaño de la clase conjugacy de $\sigma$.

Answer 2

Deje $n_1,n_2,\ldots,n_k$ ser las diferentes longitudes de los ciclos de $\sigma$ (incluyendo 1 si hay puntos fijos) y supongamos que hay $m_i$ ciclos de longitud $n_i$. A continuación, el centralizador de $\sigma$ puede permutar los ciclos de la misma longitud. Su fin es $\prod_{i=1}^k n_i^{m_i}m_i!$.

Calcular el centralizador de un subgrupo de $H$ $S_n$ no es difícil, pero es más complicado. El orden de la centralizador de una sola órbita es igual al número de puntos fijos (en el que la órbita) de la estabilizador de un punto en la órbita. Pero si $H$ tiene más de una órbita con acciones equivalentes a continuación, el equivalente de las órbitas pueden ser permutados por el centralizador, por lo que la completa centralizador es un producto directo de la corona de los productos de centralizadores de conjuntos de equivalente de las órbitas.

Answer 3

Factor $\sigma$ en sus órbitas, y deje $m_1, m_2, \ldots, m_i$ ser el orden de cada una de esas órbitas, con $m = \sum_{j=1}^i m_j$. Para una permutación $\pi$ a conmuta con $\sigma$, para cada una de las órbitas de $\pi$ debemos tener, ya sea que se trata de un poder de una órbita de $\sigma$, o que actúa en ninguno de los elementos que $\sigma$. Así tenemos que el centralizador grupo es isomorfo a

$$ \mathbb{Z}_{m_1}\oplus \mathbb{Z}_{m_2}\oplus \cdots \oplus\mathbb{Z}_{m_i} \oplus S_{n-m} $$