¿Cómo puedo probar $f=0$ en casi todas partes?

Question

Durante uno de los problemas en Rudin me pidieron que muestre $f=0$.e. Aquí $f$ cumple esta condición:

$$f(x)=\frac{1}{x}\int^{x}_{0}f(t)dt$$ almost everywhere and is in $L^{p}(0,\infty)$. So constant functions would not work. I tried to prove by contradiction, and a few imaginary counter-examples' failure convinced me this is true. But what is a good way of proving this statement? Since we know $f\en L^{p}$ I am thinking about using Holder's inequality, but in our case it is difficult to apply (since the other side is larger ). We can assume $f\C_{c}(0,\infty)$ since this is dense in $L^{p}$, pero yo todavía no sé cómo comprobar esta afirmación.

Answer 1

De Hardy Desigualdad para las Integrales a la conclusión de que el $L_p$ norma de $f$ es cero. Esto implica $f$ es cero.e.

Answer 2

Pongamos

$$F'(x)=f(x)\Longrightarrow \int_0^xf(t)dt=F(x)-F(0)\Longrightarrow$$

$$F'(x)=f(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(t)dt=\frac{F(x)-F(0)}{x}\Longrightarrow$$

$$\int\frac{dF}{F(x)-F(0)}=\int\frac{dx}{x}\Longrightarrow\log|F(x)-F(0)|=\log|x|+K\Longrightarrow$$

$$F(x)=C_1x+C_2\ldots.$$

Pero luego me $\,f\,$ es una constante...

Answer 3

$f(x)=\frac{1}{x}\int^{x}_{0}f(t)dt$, por lo $xf(x)=\int^{x}_{0}f(t)dt$. La diferenciación, $f(x)+x f'(x) = f(x)$, por lo $x f'(x) = 0$. Por lo tanto, $f'(x) = 0$ (excepto en $0$), por lo $f(x)$ es una constante. Ya que el único constante es $0$, hemos terminado.