Prueba de que $\sqrt{5}$ es irracional

Question

En mi libro de texto se da la siguiente prueba para el hecho de que $\sqrt{5}$ es irracional:

$ x = \frac{p}{q}$ y $x^2 = 5$ . Elegimos $p$ y $q$ para que no tengan factores comunes, por lo que sabemos que $p$ y $q$ no son ambos divisibles por $5$ .

$$\left(\dfrac{p}{q}\right)^2 = 5\\ \text{ so } p^2=5q^2$$

Esto significa que $p^2$ es divisible por 5. Pero esto también significa que $p$ es divisible por 5.

$p=5k$ Así que $p^2=25k^2$ y así $q^2=5k^2$ . Esto significa que tanto $q$ y $p$ son divisibles por 5, y como no puede ser así, hemos demostrado que $\sqrt{5}$ es irracional.

Lo que me molesta de esta prueba es el comienzo, en el que elegimos un $p$ y $q$ para que no tengan un factor común. ¿Cómo podemos saber con seguridad que existe un $p$ y $q$ sin factores comunes, de manera que $x=\dfrac{p}{q} = \sqrt{5}$ ? Porque parece que ese paso podría utilizarse para cada número

Editar:

He descubierto el origen de mi confusión: Pensaba que cualquier fracción con numerador 1 tenía un factor común, ya que todo número entero se puede dividir por 1. Esto me ha hecho plantear otra pregunta: ¿Son confusiones como ésta la razón por la que el 1 no se considera un número primo?

Answer 1

si $p,q$ tienen un factor común, sólo hay que reducir la fracción y empezar la prueba desde el principio. Esta es una técnica estándar en este tipo de pruebas de irracionalidad.

Answer 2

Sabemos que por la definición de números racionales, esencialmente: los racionales se pueden escribir como $\frac{p}{q}$ para los enteros $p,q$ , $q \neq 0$ .

Si por alguna opción tuvieran un factor común, podríamos dividirlo, quedando el mismo cociente (nuestro número racional), y tendrían un factor menos en común. Como el número de factores comunes es finito, tenemos que repetir esto a lo sumo finitamente muchas veces para tener una elección de $p$ y $q$ sin factores comunes.

La prueba comienza asumiendo que ya hemos hecho este paso.

Más formalmente, se podría considerar el conjunto $A:= \{(n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}: n^2 = 5m^2\}$ y si $\sqrt{5}$ eran racionales, $A$ sería no vacía (como $\sqrt{5} > 0$ podemos elegir dos enteros positivos WLOG). Pero $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ está bien ordenado en el orden $(a,b) < (c,d)$ si $c < d$ o $c=d$ y $a<b$ . (Esto es sólo el producto del ordinal $\omega$ con ella misma en la teoría de conjuntos). Sea $(n,m)$ sea el mínimo de este conjunto no vacío. Si $a|n$ y $a|m$ se mantendría para algunos $a > 1$ entonces $(n',m'):=(\frac{n}{a}, \frac{m}{a}) \in A$ y $(n',m') < (n,m)$ contradiciendo la minimalidad. Este argumento puede ser fácilmente adaptado para mostrar que cualquier fracción tiene un único (modulo el signo de $p,q$ o exigir $q>0$ ) representación equivalente $\frac{p}{q}$ donde no hay $a>1$ tal que $a|p$ y $a|q$ .

Answer 3

Estamos asumiendo su existencia, y llegando a algo que es absurdo. Esto nos lleva a concluir que su existencia es efectivamente imposible, de lo que se desprende el resultado.

El núcleo de una prueba por contradicción es el siguiente: asumimos una premisa $p$ . Con eso, sacamos conclusiones $q,r,s,t$ por medios que sabemos que son correctos, y llegar a una contradicción $C$ , lo que sabemos que es absurdo. Como estamos seguros de que todos los pasos intermedios que hemos dado son correctos, debemos concluir que la premisa $p$ era incorrecto en primer lugar.

Answer 4

Está claro que ni $p$ ni $q$ puede ser $0$ .

Dejemos que $5^k$ sea la mayor potencia de $5$ que divide $p$ y que $5^l$ sea la mayor potencia de $5$ que divide $q$ .

Supongamos que $k\le l$ . Dejemos que $p=5^kp'$ y $q=5^kq'$ . Entonces $\dfrac{p}{q}=\dfrac{p'}{q'}$ y $5$ no divide $p'$ .

Del mismo modo, si $l\le k$ , dejemos que $p=5^lp'$ y $q=5^lq'$ . Entonces $5$ no divide $q'$ .

Así, la fracción $\dfrac{p}{q}$ siempre se puede sustituir por una fracción equivalente $\dfrac{p'}{q'}$ tal que $5$ no consigue dividir al menos una de $p'$ o $q'$ .

Answer 5

Acabas de exponer una prueba por contradicción. Has asumido que existe $p$ y $q$ que son relativamente primos tales que $\frac{p^2}{q^2} = 5$ . Llegó a la conclusión de que $p$ y $q$ no puede ser relativamente primo, contradiciendo su suposición. Por lo tanto, no hay tales $p$ y $q$ y, por tanto, ningún número racional cuyo cuadrado sea 5.