El cálculo de una transformación proyectiva
Una transformación proyectiva de la (proyectiva) plano es único, definido por cuatro proyecta puntos, menos que tres de ellos son colineales. Aquí es cómo usted puede obtener los $3\times 3$ la transformación de la matriz de la transformación proyectiva.
Paso 1: Comenzar con 4 posiciones en la imagen de origen, el nombre $(x_1,y_1)$ través $(x_4,y_4)$, resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$$\begin{pmatrix}
x_1 & x_2 & x_3 \\
y_1 & y_2 & y_3 \\
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}\cdot
\begin{pmatrix}\lambda\\\mu\\\tau\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}x_4\\y_4\\1\end{pmatrix}$$
Las columnas de forma homogénea coordenadas: una dimensión más, creado mediante la adición de un $1$ como la última entrada. En los pasos siguientes, los múltiplos de estos vectores se utiliza para referirse a los mismos puntos. Ver el último paso para obtener un ejemplo de cómo convertir estas de nuevo en las coordenadas bidimensionales.
Paso 2: Escala de las columnas de los coeficientes sólo calculada:
$$A=\left(\begin{array}{lll}
\lambda\cdot x_1 & \mu\cdot x_2 & \tau\cdot x_3 \\
\lambda\cdot y_1 & \mu\cdot y_2 & \tau\cdot y_3 \\
\lambda & \mu & \tau
\end{array}\right)$$
Esta matriz se asignan $(1,0,0)$ a un múltiplo de $(x_1,y_1,1)$, $(0,1,0)$ a un múltiplo de $(x_2,y_2,1)$, $(0,0,1)$ a un múltiplo de $(x_3,y_3,1)$ y $(1,1,1)$ $(x_4,y_4,1)$. Por lo que se asignan estos cuatro vectores (llamados vectores de la base en las explicaciones posteriores) de las posiciones específicas en la imagen.
Paso 3: Repita los pasos 1 y 2 para las posiciones correspondientes en la imagen de destino, con el fin de obtener una segunda matriz se llama $B$.
Este es un mapa de vectores de la base a posiciones de destino.
Paso 4: Invertir $$ obtener $A^{-1}$.
$A$ los mapas de vectores de la base a la fuente de las posiciones, por lo que la inversa de la matriz de mapas en la dirección inversa.
Paso 5: Calcular el combinado de la Matriz $C = B\cdot A^{-1}$.
$A^{-1}$ mapas de las posiciones de fuentes a los vectores de la base, mientras que $B$ mapas de allí a destino posiciones. Así pues, la combinación de los mapas de la fuente de las posiciones de destino de las posiciones. Esta es la matriz de la transformación que estaban solicitando.
Paso 6: Para asignar una ubicación $(x,y)$ de la imagen de origen a su lugar correspondiente en la imagen de destino, calcular el producto
$$\begin{pmatrix}x'\\n\\z'\end{pmatrix} =
C\cdot\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}$$
Estas son las coordenadas homogéneas de su transformada punto.
Paso 7: Calcular la posición en el destino de la imagen como esta:
\begin{align*}
x" &= \frac{x}{z} \\
y" &= \frac{y'}{z'}
\end{align*}
Esto se llama dehomogenization de las coordenadas del vector.
Cómo utilizar esta transformación proyectiva con CSS
En general, una transformación no ser una transformación afín, por lo que no puede expresar esto en términos de transformaciones afines como la escala, la rotación y el corte, ya que estos no pueden expresar perspectiva. Usted puede tratar simplemente de establecer las dos primeras entradas de la última fila a cero, por lo que obtener una transformación afín que podría estar lo suficientemente cerca como para su transformación deseada.
Por otro lado, si usted puede utilizar un matrix3d transformación, entonces usted puede tomar el 2D proyectiva de la transformación de la matriz $C$ calculada como se describe anteriormente, y en uso de sus entradas para construir un 3D proyectiva matriz de transformación como esta:
$$\begin{pmatrix}
C_{1,1} & C_{1,2} & 0 & C_{1,3} \\
C_{2,1} & C_{2,2} & 0 & C_{2,3} \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
C_{3,1} & C_{3,2} & 0 & C_{3,3}
\end{pmatrix}$$
Esta transformación va a transformar $x$ y $y$ de coordenadas como en el anterior, pero dejar el $z$ coordenadas homogéneas de coordenadas de vectores. Dehomogenization podrían cambiar el valor de los $z$ coordenadas en el espacio, pero como no se preocupan realmente de estos, este debe ser lo suficientemente bueno.
He escrito una prueba-de-concepto de la aplicación. La interfaz de usuario es bastante crudo, pero la matemática funciona bastante bien. La aplicación no utiliza la matriz adjunta en lugar de a la inversa, tanto en la solución de las ecuaciones lineales en el paso 1 y en el reverso de transformación en el paso 4. El resultado difiere sólo por un escalar factor, que es irrelevante para homogénea coordenadas. La ventaja es que esto evita la computación de un montón de factores determinantes y la realización de un montón de divisiones.
Si usted quisiera, usted puede jugar al mismo juego de cinco puntos en el espacio 3D, con el fin de calcular el total espacial proyectiva matriz de transformación. Pero eso sólo tiene sentido si usted realmente tiene profundidad, sice no cuatro de los cinco puntos que pueden ser coplanares.
