definición de variedad afín

Question

Tenía una pregunta muy elemental que me desconcierta. La mayoría de las introducciones al tema definen una variedad afín como un subconjunto del espacio afín que es el lugar cero de un conjunto de polinomios.

Ahora, $X:=\mathbb{A}\setminus\{0\}$ no satisface esta propiedad. Sin embargo, veo en muchos sitios que se trata como una variedad afín (por ejemplo, en Wikipedia) porque es isomorfa (no birregular, sino birracional, supongo) al lóbulo cero de una variedad que sí satisface la definición anterior (el lóbulo cero de $\langle xy-1\rangle$ en $\mathbb{A}^2$ ). Ahora bien, aquí hay un problema de circularidad, ya que para que dos objetos sean isomorfos primero deben estar en la misma categoría, y, según nuestra definición original, el primer objeto $X$ no es un objeto de la categoría de variedades afines (sobre el campo dado, digamos $\mathbb{C}$ ). Supongo que habrá alguna referencia con una definición que recoja esta tontería y dé una definición más amplia que me satisfaga, pero no la encuentro. La pregunta entonces es: ¿cuál debería ser esa definición de variedad afín (en sentido clásico, es decir, evitando esquemas y similares)? Me refiero a una definición que incluya $X$ anterior (y otros objetos similares) como una variedad afín.

Answer 1

A mí también me molesta mucho que la gente diga cosas así. Hasta que no describas lo que es un no afín es, afirmaciones como fulano de tal no es una variedad afín carecen de sentido: a priori ser una variedad afín es una estructura extra sobre un conjunto, no una propiedad. Si ser afín es una propiedad de una clase mayor de objetos, ¡primero hay que describir qué es esa clase mayor de objetos!

Permítanme limitar mi atención a $\mathbb{A}^1 \setminus \{ 0 \}$ . ¿Qué tipo de objeto es? Una respuesta es que puede considerarse útilmente como una "gavilla de Zariski", es decir, un functor

$$\mathbb{G}_m : \text{CRing} \ni R \mapsto R^{\times} \in \text{Set}$$

de anillos conmutativos a conjuntos que satisfacen una condición de gavilla. (Nótese que esto hace algo un poco más general que simplemente "eliminar el origen" en anillos conmutativos que no son campos: elimina todos los elementos no invertibles). El sentido en el que $\mathbb{G}_m$ es una variedad afín, aunque no sea una subvariedad cerrada de $\mathbb{A}^1$ es que esta gavilla es representable por un anillo conmutativo, a saber $\mathbb{Z}[x, x^{-1}]$ .

(Una suposición más ingenua es $R \mapsto R \setminus \{ 0 \}$ pero esto ni siquiera es un functor).

Otras respuestas son posibles en varios niveles de sofisticación; puedes buscar los términos variedad "cuasi-afín" y "cuasi-proyectiva".

Answer 2

Esta es la solución habitual. Deje que $k$ sea el campo algebraicamente cerrado con el que estás trabajando. Se tiene una noción de gavilla de $k$ -algebras en un espacio topológico $X$ . A $k$ -espacio anillado es un par $(X, \mathcal O_X)$ donde $X$ es un espacio topológico, y $\mathcal O_X$ es una gavilla de $k$ -en $X$ . Se pueden definir morfismos de $k$ -espacios anillados, por lo que $k$ -Los espacios anillados forman una categoría.

Ahora bien $Y$ es un subconjunto cerrado de $k^n$ (en la topología de Zariski) para algún $n \geq 0$ entonces se puede definir una gavilla canónica de $k$ -algebras $\mathcal O_Y$ en $Y$ . En concreto para $U$ abrir en $Y$ , $\mathcal O_Y(U)$ es el $k$ -de funciones regulares $U \rightarrow k$ . La pareja $(Y, \mathcal O_Y)$ es un espacio localmente anillado.

A continuación, se define un variedad afín ser cualquier $k$ -espacio anillado $(X, \mathcal O_X)$ que satisface la siguiente propiedad: existe un subconjunto cerrado $Y \subseteq k^n$ para algunos $n \geq 0$ y un isomorfismo $f$ de $(X, \mathcal O_X)$ en $(Y, \mathcal O_Y)$ en la categoría de $k$ -espacios anillados.

En tu caso, $X := k \setminus \{0\}$ es un espacio localmente anillado con la ganga $\mathcal O_{k|X}$ donde $\mathcal O_{k|X}$ es la restricción de la gavilla canónica $\mathcal O_k$ del conjunto cerrado $k$ . Como ha indicado, existe un isomorfismo de $k$ -espacios anillados de $(X, \mathcal O_{k|X})$ en la variedad afín $(Z(xy-1), \mathcal O_{Z(xy-1)})$ .

EDIT: hay algunas definiciones diferentes y no equivalentes de "variedad afín" en la literatura. Vi que etiquetó esto con "grupos algebraicos" y dio la definición que se encuentra en Springer, suponiendo que $k$ es algebraicamente cerrado. Pero en la mayoría de los lugares, por ejemplo en Hartshorne, la definición es diferente. Por ejemplo, un subconjunto cerrado de $k^n$ sólo se dice que es afín si es irreducible. Peor aún, existe la noción de "variedad afín abstracta", que es un poco diferente de la definición que acabo de dar, por ejemplo, el espacio subyacente no suele ser T1. Me estoy saliendo un poco del tema, pero hay un functor totalmente fiel a partir del cual las variedades afines (irreducibles) en tu sentido corresponden a variedades afines abstractas en el sentido de Hartshorne.

Answer 3

La elección típica de la categoría mayor a la que se refiere es una de las siguientes (en orden creciente de generalidad):

• Variedades;
• Esquemas;
• Espacios anillados locales.

La categoría de variedades afines es una subcategoría completa de cada una de ellas. Dependiendo de tu definición de variedad (hay muchas convenciones diferentes), verlas como una subcategoría completa de la categoría de esquemas podría requerir algo de trabajo. Véase Hartshorne, Proposición II.2.6 para una de estas afirmaciones. Las observaciones II.4.10.1 y II.4.10.2 de [loc. cit] también merecen mención aquí.

Observación. Tenga en cuenta, por cierto, que aunque $\mathbb A^1 \setminus\{0\} \cong V(xy - 1)$ es afín, no ocurre lo mismo con $\mathbb A^n \setminus \{0\}$ para $n > 1$ . Véase Hartshorne, Ejercicio I.3.6 para el caso $n = 2$ .

Answer 4

Establecer, en primer lugar, una categoría en la que para definir "afín-ness' vamos a pensar de la categoría de las variedades de más de $k$ como en Hartshorne §1.3, donde los objetos son (casi)afín y (cuasi)variedades proyectivas y morfismos son continuas mapas donde pushforwards de 'regular' funciones 'regular' (yo uso las comillas porque el sentido de regular depende del objeto y si está incrustado en $\mathbb{A}^n$ o $\mathbb{P}^n$.)

Es perfectamente adecuado para, a continuación, definir 'afín-ness' es isomorfo a un cerrado irreducible $Y \subseteq \mathbb{A}^n$. Después de todo esta es una relación de equivalencia. Esto es incluso un útil modo de pensamiento ya que variedades son "local afín', lo que significa que tienen una base de afín, abrir sets. Así, por ejemplo, si vamos a comprobar si un punto de una variedad proyectiva es singular, un local de propiedad, se puede reducir al caso de la comprobación de si $\mathcal{O} (Y)_\mathfrak{m}$ es regular para algunos afín $Y$. La determinación de las singularidades es ahora sencillo.

Pero esta caracterización pierde el punto de que los simples resultados sobre afín variedades de revelar. La equivalencia entre la categoría de los afín variedades y lo opuesto a la categoría de finitely generado, integral $k$-dominios sugiere que la geometría afín de variedades está completamente determinada sólo por su anillo de $\mathcal{O} (Y)$. En efecto, en una variedad afín radical de los ideales de la global anillo corresponden bijectively a los subconjuntos cerrados, y las funciones regulares en el complemento de un hyperplane $V(f)$ son solo localizaciones por $f$, etc.

De hecho tenemos una bastante básicas, resultado que nos permite formular una si y solo si la condición para affineness. Recordar que si $X, Y$ son variedades, a continuación, el $k$-homomorphisms $\varphi: A(Y) \to \mathcal{O} (X)$ son inducidos bijectively a partir de morfismos $f: X \to Y$ y viceversa. Para cualquier variedad de $Y$ considera la variedad afín $\hat{Y}$ correspondiente a la $k$dominio $\mathcal{O} (Y)$. El mapa de identidad $i: A(\hat{Y}) \to \mathcal{O} (Y)$ induce una de morfismos $j: Y \to \hat{Y}$. A continuación, $Y$ es afín a si y sólo si $j$ es un isomorfismo. Vemos cómo esta falla por cualquier proyectiva $X, \operatorname{dim} X>0$ como la inducida por morfismos sólo los mapas de $X$ a un punto. Del mismo modo la variedad $W = \mathbb{A}^2 \setminus \{ (0,0) \}$ no es afín debido a la inducida por la morfismos es la inyección de $Y \hookrightarrow \mathbb{A}^2$.