Ejemplo para fintely aditivo, pero no countably aditiva de la probabilidad de medir

Question

Una medida de probabilidad definida sobre un espacio muestral $\Omega$ tiene las siguientes propiedades:

1. Para cada $E \subset \Omega$, $0 \le P(E) \le 1$
2. $P(\Omega) = 1$
3. Si $E_1$ $E_2$ son distintos subconjuntos $P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2)$

La definición anterior se define una medida que es finitely aditivo (por inducción), pero no necesariamente countably aditivo.

¿Cuál es la probabilidad a medida que sería finitely aditivo, pero no countably aditivo (para una contables espacio muestral $\Omega$)?

El ejemplo que he visto más comúnmente en los foros (este y en otros lugares) es la de establecer $P(E) = 0$ si $E$ es finito y $P(E) = 1$ si $E$ es co-finito. Pero que es no una medida de probabilidad como se definió anteriormente, ya que no está definido en cada subconjunto de $\Omega$.

Para un ejemplo de una medida de probabilidad, o ¿cuál es el razonamiento que un finitely aditiva de la probabilidad de medir no es siempre countably aditivo?

Answer 1

Deje $\mathcal{U}$ ser libre ultrafilter en $\mathbb{N}$. Deje $P(A)=1$ si $A\in\mathcal{U}$ $P(A)=0$ si $A\notin\mathcal{U}$. Creo que es imposible dar un ejemplo claro de un finitely aditivo medida en un $\sigma$-álgebra que no es countably aditivo, pero nuestro conjunto residente teóricos podría ser capaz de decir más acerca de eso.

Answer 2

En la siguiente nota , el autor muestra que un finitely aditivo difusa medida en $\mathcal{P}(\omega)$ puede ser utilizado para definir un no Ramsey familia. La combinación de esta con un resultado de Mathias, se deduce que es consistente con $ZFC$ que no hay ninguna (ordinal) definibles finitely aditivo difusa total de la medida en $\mathcal{P}(\omega)$.

Answer 3

En esta interesante nota, el autor demuestra las siguientes: es compatible el tener un finitely aditivo total de la extensión de la medida de Lebesgue en $[0, 1]$ de manera tal que, a pesar de que la medida cero conjuntos de formar un sigma ideal, no es real con valores medibles cardenal a continuación continnum.