Cómo probar esto $\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\cdot\sqrt[n]{l-a_{n}}=\frac{\sqrt{e}}{2}$

Question

Definir la secuencia de $\{a_{n}\}_{n\ge 2}$ por $$a_{n}=\sqrt{1+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{n}}}.$$ Es bien sabido $a_{n}\longrightarrow l$ durante un cierto número real $l$. Mostrar que $$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\cdot\sqrt[n]{l-a_{n}}=\dfrac{\sqrt{e}}{2}.$$

Este es un buen resultado, pero no puedo encontrar una solución. Gracias a todos.

Answer 1

1) queremos estimar la diferencia de $l-x_n$. Para ello tenga en cuenta que $$ l-x_n=\sum\limits_{m\geq n}(x_{m+1}-x_m) $$ Así nos encontramos con asymptotics para $x_{m+1}-x_m$

2) Demostrar que $$ x_{n+1}-x_n=\frac{\sqrt{n+1}}{\prod_{1\leq k\leq n}(x_{n+1}^{(k)}+x_n^{(k)})} $$ donde $x_n^{(k)}=\sqrt{k+\sqrt{(k+1)+\ldots+\sqrt{n}}}$.

3) el Uso de $x_n^{(k)}=\sqrt{k+x_n^{(k+1)}}$ muestran que

$$\sqrt{k}\leq x_n^{(k)}\leq \sqrt{k}+1\tag{3.1}$$

$$x_n^{(k)}=\sqrt{k}+\frac{1}{2}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{\sqrt{k}}\right)\tag{3.2}$$

$$x_n^{(k)}=\sqrt{k}\exp\left(\frac{1}{2\sqrt{k}}+\mathcal{O}\left(\frac{1}{k^{3/2}}\right)\right)\tag{3.3}$$

para $1\leq k<n$.

Lo que es más, las constantes en $\mathcal{O}$ símbolos son independientes de $k$$n$.

4) el Uso de 3.3 muestran que $$ x_{n+1}-x_n=\frac{1+\mathcal{s}(1)}{2^n\sqrt{(n-1)!}}\exp\left(-\sum\limits_{1\leq k< n}\left(\frac{1}{2\sqrt{k}}+\mathcal{S}\left(\frac{1}{k^{3/2}}\right)\right)\right) $$ por lo tanto $$ x_{n+1}-x_n\sim\frac{\operatorname{const}}{2^n\sqrt{(n-1)!}}\exp(-\sqrt{n}) $$ y $$ l-x_n\sim x_{n+1}-x_n\sim \frac{\operatorname{const}}{2^n\sqrt{(n-1)!}}\exp(-\sqrt{n}) $$

5) la Aplicación de la fórmula de Stirling tenemos $$ \sqrt[n]{l-x_n}\sim\frac{1}{2}\sqrt{\frac{e}{n}} $$ y el resultado de la siguiente manera.