¿El área de un círculo es siempre un número entero?

Question

¿El área de un círculo es siempre un número entero?

Estaba tratando de responder a la pregunta de otra persona en yahoo respuestas hoy y tengo los pulgares hacia abajo de la gente en mi respuesta y han venido aquí para obtener una prueba exhaustiva en él porque ahora sólo debe ¡saber! :)

Mi afirmación: Supongamos que tenemos dos números enteros a y b. Podemos formar un número racional a partir de cada uno de ellos: $\frac{a}{1}$ y $\frac{b}{1}$ . Ahora formando otro racional dividiéndolos: $\frac{\frac{a}{1}}{\frac{b}{1}}$ = $\frac{a}{b}$ . Ahora bien, si dividimos esto por sí mismo: $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{a}{b}}$ = $\frac{ab}{ab}$ = 1. Por lo tanto, podemos concluir que, dado cualquier número racional, siempre podemos describirlo utilizando sólo números enteros, lo que resulta siempre en un número entero.

Sin embargo, aunque nuestro radio sea $\sqrt{\frac{1}{\pi}}$ entonces tendremos $\pi\sqrt{\frac{1}{\pi}}^2$ = $\frac{\pi}{\pi}$ , por definición de área = $\pi r^2$ .

Ahora creo que esta es la parte más complicada. ¿Tiene $\frac{\pi}{\pi}$ = 1? ¿O sólo puede ser igual a $\frac{\pi}{\pi}$ ? ¿Cómo demostramos que $\frac{\pi}{\pi} \neq$ 1? ¿O mi método es suficiente en absoluto? Gracias.

Answer 1

Por definición, $\frac{1}{b}$ es el único número real que, cuando se multiplica por $b$ , produce $1$ .

Por definición, $\frac{a}{b}$ es el producto de $a$ y $\frac{1}{b}$ .

Desde $\frac{1}{\pi}$ es el único número real que, cuando se multiplica por $\pi$ , produce $1$ entonces $\pi\left(\frac{1}{\pi}\right) = 1$ . Por lo tanto, $\frac{\pi}{\pi}=1$ .

Si permite cualquier para un círculo, entonces un círculo tiene un área entera si y sólo si su radio $r$ es la raíz cuadrada de un número entero dividido por $\pi$ Es decir, $r = \sqrt{a/\pi}$ para algún entero no negativo $a$ .

Su primer párrafo, sin embargo, es completamente irrelevante.

Answer 2

$\frac\pi\pi$ es $1$ porque cuando se multiplica $\pi$ por $1$ se obtiene $\pi$ .

Answer 3

Esto no es una prueba; Arturo ha dicho todo lo que hay que decir. Pero los experimentos de pensamiento del mundo físico y los argumentos insinúan fuertemente que sí, debe haber un círculo con área 1. Tengo las siguientes razones para ello. El argumento general es:

"Todos los tamaños han sido creados iguales". Considere la contrapregunta: ¿Por qué ningún círculo debe tener un área de tamaño entero? ¿Qué distingue, en su opinión, un área del mundo real de un tamaño de un área de otro tamaño? ¿Ha visto ¿La lección de matemáticas de Vi Hart despotricó sobre las parábolas? A las 2:50 dice:

Todas las parábolas son exactamente iguales, sólo que más grandes o más pequeñas o movidas alrededor. Tu profesor podría también mano parábolas ya dibujadas y hacerles dibujar cuadrículas de coordenadas sobre parábolas en lugar de en lugar de parábolas sobre cuadrículas de coordenadas.

Esto todavía hace que mis ojos lloren porque esta lección de matemáticas perfectamente ordinaria es tan triste y Vi Hart es tan inteligente y el despotricar es tan divertido. Todo al mismo tiempo.

Volviendo al tema: Lo que es cierto para la sección cónica llamada parábola es aún más cierto (¡ja!) para la sección cónica llamada círculo.

• El valor numérico del área de un círculo del mundo real depende de la unidad con la que se mida. Evidentemente, no te cabe duda de que el área de un círculo puede ser $\pi$ Bueno, ya ves el punto: si cambias tu unidad de medición de área para que una unidad sea el área de $\pi$ unidades en el sistema antiguo, voilà: ¡círculo de área 1! No se trata de un argumento tramposo; nuestras unidades comunes de longitud y área asociadas son completamente arbitrarias. Simplemente no hay tamaños de área que sean especiales. (Este es el isomorfismo en el mundo real del argumento matemático de Arturo).

• Puede reducir una imagen con un círculo de área $\pi$ por un factor lineal de $\sqrt{\pi}$ . Voilà: Área 1. (Este es otro isomorfismo del mundo real del argumento matemático de Arturo).

• Digamos que extiendes la masa; puedes darle la forma que quieras, cuadrada, circular, lo que sea. Obviamente, puedes tener un cuadrado de área 1; no hay razón para que sea más difícil darle forma de círculo que a cualquier otro cuadrado. (No, no se trata del irresoluble problema de "cuadrar un círculo" (o viceversa). No pretendo que el radio del círculo sea racional). Quizá sea más fácil pensar en términos de volúmenes: Si pones un globo de agua en un recipiente cúbico de un litro y lo llenas de agua, tienes un cubo con el volumen 1 (si mides en litros, ver primer punto). Ahora saca el globo; si es un globo perfecto y sin peso (porque lo lanzas -¿qué otra cosa harías con un globo de agua?), será una esfera con el volumen 1, si consideramos que el agua es incompresible. Esto se aplica análogamente a las áreas.