La conexión entre Corchetes de Poisson y la Forma Simpléctica

Question

José y Saletan decir los elementos de la matriz de los Corchetes de Poisson (PB) en el $ {q,p} $ base son los mismos que los de la inversa de la simpléctica matriz $ \Omega^{-1} $, mientras que los elementos de la matriz de la forma simpléctica son iguales a las de la simpléctica matriz $ \Omega $ .

Yo no tengo ningún problema con la última afirmación, pero yo lo hago con la primera. Eso es porque el PBs están introduciendo por escrito Hamilton ecuación como

$$ \dot{\xi^j} = \omega^{jk}{\frac{\partial H }{\partial \xi^k}} ,$$

donde $\omega^{jk}$ son los elementos de la $\Omega$, y luego tomar la Mentira derivada de una dinámica variable $f$ a lo largo de la dinámica del vector de campo, lo que da

$$L_{\Delta}f = (\partial_j f) \omega^{jk}(\partial_k H)+ \partial_{t}f.$$

Posteriormente se dijo que el término que contiene la $\omega^{jk}$ es la PB $\left \{ f,H \right \}$, lo que yo no tengo ningún problema en absoluto, ya que se da el derecho de expresión por la PBs de la canónica de coordenadas cuando el $\omega^{jk}$ son los elementos de la simpléctica matriz $\Omega$, es decir, en la forma en que se introdujo por primera vez a través de las ecuaciones de Hamilton. Sin embargo, como ya he mencionado, en una posterior consideración que decir que la $\omega^{jk}$ de los PBs son los elementos de $\Omega^{-1}$, lo que me hizo confundir, especialmente porque en varias ocasiones en el libro que el uso de $\omega^{jk}$ como componentes de $\Omega$, e $\Omega_{jk}$ como componentes de $\Omega^{-1}$, en varias derivaciones. Sin embargo, no creo que la declaración en el libro acerca de los elementos de la PBs, siendo los de $\Omega^{-1}$ es erróneo, ya que este es utilizado en la derivación de la preservación de la forma simpléctica bajo transformaciones canónicas. Por lo tanto, creo que hay una idea errónea sobre mi nombre en algún lugar, que no sé donde está, y yo estaría muy agradecido si alguien pudiera arrojar algo de luz sobre esto.

Answer 1

Parece que el OP solo quiere trazar una convención de signos en un libro específico (Ref. [JS]). Para responder a esta más convincente, debemos documento en el que se lee lo que.

• En el caso de la canónica de coordenadas (también conocido como coordenadas de Darboux), [JS] utiliza una convención en la que las posiciones $q^i$ están ordenados antes de la momenta $p_i$, $$\xi^i~=~(q^1, \ldots, q^n,p_1, \ldots p_n),$$ cf. por ejemplo, p. 215 en [JS].

• En la parte superior de la p. 230 en [JS] está escrito:

  Los elementos $\omega_{jk}$ de la forma simpléctica y el $\omega^{jk}$ de la distribución de Poisson soporte [...] son los elementos de la matriz de $\Omega$$\Omega^{-1}$, respectivamente.

Ya que estamos a sólo después de una convención de signos, supongamos por simplicidad restringir canónica/coordenadas de Darboux. A continuación,$\Omega^2=-1_{2n}$, y por tanto, la diferencia entre el $\Omega$ $\Omega^{-1}$ se reduce a un signo.

• En la p. 216 nca. (5.42 b) y (5.43) leer $$ \tag{5.42b} \omega_{\ell j} \dot{\xi}^j~=~ \partial_{\ell} H, $$ $$ \tag{5.43} \Omega ~=~\begin{bmatrix} 0_n & -I_n \cr I_n & 0_n \end{bmatrix}. $$

• En la p. 218 eq. (5.47) define el corchete de Poisson $$ \tag{5.47} \{f,g\} ~\equiv~ (\partial_jf) \omega^{jk} (\partial_kg) ~\equiv~ \frac{\partial f}{\partial q^{\alpha}}\frac{\partial g}{\partial p_{\alpha}}-\frac{\partial f}{\partial p_{\alpha}}\frac{\partial g}{\partial q^{\alpha}}, $$ conduce a Hamilton de la ecuación de movimiento (5.50), $$ \tag{5.50} \dot{\xi}^j~=~ \{\xi^j , H\}. $$

Llegamos a la conclusión de que [JS] tiene la convención que

$$ \Omega^{-1} ~=~\begin{bmatrix} 0_n & I_n \cr -I_n & 0_n \end{bmatrix}. $$

Hasta ahora tan bueno.

• En la p.228 está escrito

$$ \tag{5.75} \omega ~=~ dq^{\alpha} \wedge dp_{\alpha}. $$

Comparando con $\Omega$$\omega_{ij}$, llegamos a la conclusión de que [JS] tiene la convención que

$$ \omega ~=~ \frac{1}{2} \omega_{ij} d\xi^j \wedge d\xi^i ~=~ -\frac{1}{2} \omega_{ij} d\xi^i \wedge d\xi^j . $$

Nota el contrario el pedido de $i$$j$! Este es probablemente el punto donde OP y muchos otros en su lugar hubiera gustado definido de forma opuesta como

$$\tag{Opposite JS} \omega ~=~ \frac{1}{2} \omega_{ij} d\xi^i \wedge d\xi^j,$$

y

$$\tag{Opposite JS} \omega ~=~ dp_{\alpha} \wedge dq^{\alpha}.$$

Referencias:

[JS] José y Saletan, la Dinámica Clásica: Un Enfoque contemporáneo, 1998.

Answer 2

Vamos a ver: Una forma simpléctica en un colector $P$ (el phasespace) es una degenerada cerrado de dos formas $\omega$.

Esto le da a usted para cada función de $f \colon P \to \mathbf{R}$ un vectorfield $\xi_f$ definido por

$$i_{\xi_f}\omega = -df$$,

donde $i$ denota el producto en el interior.

Luego de dos funciones de $f,g \colon P \to \mathbf{R}$ el Poissonbracket es

$$ \{f,g\} = \xi_f g = \omega(\xi_f,\xi_g) = - \{g,f\}$$

Ahora en coordenadas locales,$\xi_f = \xi^i_f \partial_i$, así que usted consigue

$$ i_{\xi_f}\omega(\partial_j) = \omega(\xi^i_f \partial_i,\partial_j) = \xi^i_f \omega(\partial_i,\partial_j) = \xi^i_f \omega_{ij} = -df(\partial_j) = -\partial_j f$$

Desde $\omega$ es invertible, esto significa $\xi^i_f = -\omega^{ij}\partial_j f$, por lo tanto $$\{f,g\} = \omega^{ij}\partial_i f \partial_j g$$

Answer 3

No tengo Jose y Saletan, pero ver Teorema 18.1.3, en particular (18.6), en mi libro Clásica y la Mecánica Cuántica a través de álgebras de Lie

Answer 4

El asunto aquí es la subida y bajada de los índices. El formulario de $\omega_{ij}$ con índices menores no es el mismo que el de dos tensor $\omega^{ij}$, aunque con una métrica plana (como sus ejemplos), los dos son el mismo (ya que el subir y bajar de un índice no hace ninguna diferencia). Pero no es un signo de un problema--- los dos tensores son antisimétrica, y se podría definir elevar el índice de intercambiar la posición de índice. En este caso, obtendrá un signo menos.

La cuestión es importante, porque la simpléctica matriz tiene uno abajo y uno arriba, y el índice plazas a -1:

$$ \omega^i_j \omega ^j_k = -\delta^i_k $$

(suponiendo que no hay intercambio de definición). A continuación, bajar y subir con la métrica,

$$ \omega^{ij} = g^{jk}\omega^i_k $$

$$ \omega_{ij} = g_{ik}\omega^k_i $$

así que si usted multiplica las entradas como las matrices,

$$ \omega^{ij}\omega_{jk} = \omega^i_k g^{kj}g_{jl}\omega^l_k = -\delta^i_k $$

desde que el g son inversos el uno al otro, por lo que obtener la cancelación en el medio. El resultado es que las entradas de la parte superior del índice de $\omega$ son la inversa de la matriz (hasta un signo) de la menor índice de $\omega$, y esto es lo que los autores están tratando de decir.

Ellos son descuidado sobre el signo, o tener un índice de voltear la convención que lo arregla, no sé. Pero el signo de la inversa es la razón de su confusión. Yo no usaría su terminología--- yo diría que la parte superior del índice de $\omega$ tiene entradas que son el negativo de la inversa de la menor índice de $\omega$'s, pero probablemente corregir los signos uso de su experiencia y de la intuición, de modo que las fórmulas terminan correcta en la final.

EDIT: Qmechanic encontrado la referencia

Se trata de un convenio de intercambio. Ellos invierten los índices para el tensor de frente a la forma, absorbiendo el signo menos. Esto no es un gran convención, pero es lo que hacen. Gracias Qmechanic para averiguar lo que ocurría.