Integración por diferenciación bajo el signo integral $I = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x+1} dx$

Question

$$I = \int_0^1 \frac{\arctan x}{x+1} dx$$

He pasado mucho tiempo intentando resolver esta integral diferenciando bajo el signo de la integral, pero no he conseguido nada útil. Ya lo he intentado:

$$I(t) = \int_0^1 e^{-tx}\frac{\arctan x}{x+1} dx ; \int_0^1 \frac{(t(x+1)-x)\arctan x}{x+1} dx ; \int_0^1 \frac{\arctan tx}{x+1} dx ; \int_0^1 \frac{\ln(te^{\arctan x})}{x+1} dx$$

Y algo parecido. Un problema es que necesitamos obtener +constante al final, pero calcular eso causa los mismos problemas de integración.

A estas integrales:

$$I(t) = \int_0^1 e^{-tx}\frac{\arctan x}{x+1} dx ; \int_0^1 \frac{\arctan tx}{x+1} dx$$

Encontrar la constante no es un problema, pero resolver estas integrales por sí mismas usando la diferenciación bajo el signo de la integral sigue siendo complejo.

¿Alguna idea? Sé cómo resolver esto de otras maneras (al menos una), pero yo particularmente interesante en la diferenciación.

Answer 1

Integración por partes: $$\begin{eqnarray*} I = \int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{x+1}\,dx &=& \left.\log(x+1)\arctan(x)\right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{\log(1+x)}{1+x^2}\,dx\\&=&\frac{\pi}{4}\log 2-\int_{0}^{\pi/4}\log(1+\tan\theta)\,d\theta \tag{1}\end{eqnarray*}$$ pero como $\tan\left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)=\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}$ que tenemos: $$I = \frac{\pi}{4}\log 2 - \int_{0}^{\pi/4}\log 2\,d\theta + \int_{0}^{\pi/4}\log(1+\tan\theta)\,d\theta = \int_{0}^{\pi/4}\log(1+\tan\theta)\,d\theta\tag{2}$$ y sumando $(1)$ y $(2)$ obtenemos $2I=\frac{\pi}{4}\log 2$ Así que..: $$I = \color{red}{\frac{\pi}{8}\log 2}.\tag{3}$$

Answer 2

Si consideramos $$I(a) = \int_{0}^{1}\frac{\arctan (ax)}{x+1}\mathrm{d}x$$ y luego aplicamos el Método de diferenciación bajo signo integral encontrar $I'(a)$ puede ser muy difícil integrar de nuevo y encontrar $I(a)$ .

Así que sugiero que se proceda de una manera un poco diferente.

Integrando por partes, tenemos $$I = \int_{0}^{1}\frac{\arctan x}{x+1}\mathrm{d}x = \left.\log(x+1)\arctan(x)\right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{\log(1+x)}{1+x^2}\mathrm{d}x=\frac{\pi}{4}\log 2-J$$ donde $$J=\int_{0}^{1}\frac{\log(1+x)}{1+x^2}\mathrm{d}x.$$ Consideremos la integral paramétrica $$J(a)=\int_{0}^{a}\frac{\log(1+ax)}{1+x^2}\mathrm{d}x$$ para que la integral original sea $$I=\frac{\pi}{4}\log 2-J(1).$$ Diferenciando tenemos $$\begin{align} J'(a)&=\int_{0}^{a}\frac{x}{(1+x^2)(1+ax)}\mathrm{d}x+\frac{\log(1+a^2)}{1+a^2}\\ &=\int_{0}^{a}\left[\frac{-a}{1+a^2}\frac{1}{1+ax}+\frac{1}{1+a^2}\frac{x+a}{1+x^2}\right]\mathrm{d}x+\frac{\log(1+a^2)}{1+a^2}\\ &=\frac{-1}{1+a^2}\log(1+a^2)+\frac{1}{1+a^2}\frac{1}{2}\log(1+a^2)+\frac{a}{1+a^2}\arctan a+\frac{\log(1+a^2)}{1+a^2}\\ &=\frac{1}{1+a^2}\frac{1}{2}\log(1+a^2)+\frac{a}{1+a^2}\arctan a \end{align}$$ para que $$J(a)=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+a^2}\log(1+a^2)\,\mathrm{d}a+\int \frac{a}{1+a^2}\arctan a \,\mathrm{d}a$$ e integrando por partes la segunda integral encontramos $$J(a)=\frac{1}{2}\int \frac{\log(1+a^2)}{1+a^2}\,\mathrm{d}a+(\arctan a)\frac{1}{2}\log(1+a^2)-\frac{1}{2}\int \frac{\log(1+a^2)}{1+a^2}\,\mathrm{d}a+C$$ es decir $$J(a)=(\arctan a)\frac{1}{2}\log(1+a^2)+C$$ donde $C$ es una constante; observando que $J(0)=0$ encontramos $C=0$ .

Así que tenemos $$J(a)=(\arctan a)\frac{1}{2}\log(1+a^2)$$ y luego $$I=\frac{\pi}{4}\log 2-J(1)=\frac{\pi}{4}\log 2-\arctan(1)\frac{1}{2}\log(2)=\frac{\pi}{4}\log 2-\frac{\pi}{8}\log 2$$ es decir $$I=\frac{\pi}{8}\log 2.$$

Answer 3

Tengo una respuesta, aunque es sin usar la diferenciación bajo integración

$$I=\int_{0}^1 \frac{\tan^{-1}x}{1+x}dx=\int_{0}^{\pi/4}\frac{\theta \sec^2\theta}{1+\tan \theta}d\theta\\ =\int_{0}^{\pi/4}\frac{(\pi/4-\theta)\sec^2(\pi/4-\theta)}{1+\frac{1-\tan\theta}{1+\tan\theta}}d\theta\\=\int_{0}^{\pi/4}\frac{(\pi/4-\theta)}{1+\tan\theta}\sec^2\theta d\theta\\ \Rightarrow 2I=\pi/4\int_{0}^{\pi/4}\frac{\sec^2\theta }{1+\tan\theta}d\theta=\pi/4\ln 2\\ \Rightarrow I=\pi/8\ln 2$$

Answer 4

Cuando queremos integrar $$\int_a^b f(x) \arctan x dx$$ donde $f$ es una función relativamente sencilla (por ejemplo, una función racional), dejamos que $$J(p) := \int_a^b f(x) \arctan px dx$$ así que $$J'(p) = \int_a^b f(x) \frac{p}{1+p^2 x^2} dx.$$

La razón por la que esto funciona es que sabemos $J(0) = 0$ Así que $$J(1) = \int_0^1 J'(p) dp.$$ Esto debería solucionar tu problema con el '+constante'.

Para calcular $$J'(p) = \int_a^b f(x) \frac{p}{1+p^2 x^2} dx$$ en su caso, puede ser útil saber que $$\frac{1}{1+x} \frac{p}{1+p^2 x^2}=\frac{p}{\left(p^2+1\right) (x+1)}+\frac{p^3-p^3 x}{\left(p^2+1\right) \left(p^2 x^2+1\right)}$$

Answer 5

Otra respuesta sin utilizar la integración de la diferenciación utilizando un cambio de variable de tipo homógrafo:

$$x=\frac{1-t}{1+t}, dx=\frac{-2}{(1+t)^2},0\leq t\leq1.$$ $$I=\int_{0}^1 \frac{\arctan x}{1+x}dx= \int_{1}^0 \frac{\arctan \frac{1-t}{1+t} }{1+\frac{1-t}{1+t}}\frac{-2}{(1+t)^2}dx=\int_{0}^1 \frac{\arctan \frac{1-t}{1+t} }{1+t}dx=$$ $$=\int_{0}^1 \frac{\frac{\pi}{4}-\arctan t}{1+t}dx.$$ $$2I=\frac{\pi}{4}\int_{0}^1 \frac{1}{1+t}dx, I=\frac{\pi}{8}\ln 2.$$