Encontrar $M$ donde $M^7=I$ y $M\neq I$, $M$ sólo tiene 0's y 1's.

Question

Encontrar un $3 \times 3$ matriz $M$ con las entradas 0 y 1 tales que $M^7=I$$M\neq I$.

Esta fue una breve pregunta en un reciente examen. He intentado con la permutación de matrices, pero no podía encontrar a $M^{odd}=I$ a excepción de 3.

Answer 1

No hay tal matriz $\mathbb{R}$. La matriz satisface el polinomio $x^7−1$, lo que implica que los valores propios de la mentira, entre la $7^{\text{th}}$ raíces de la unidad y que la matriz es diagonalizable. Esto implica que el polinomio característico, siendo un verdadero cúbicos, tiene tres raíces reales, o una raíz real y un conjugado de la raíz par.

Si todas las raíces son reales, entonces debemos tener $1$, repetida tres veces, como los autovalores. Diagonalizability, a continuación, las fuerzas de $M=I$.

Si tenemos un conjugado de la raíz par, decir $\left(\omega, \overline{\omega}\right)$ y una raíz real (que de nuevo se $1$), entonces sabemos que $$1 + \omega + \overline{\omega} = 1 + 2\Re(\omega) = \mathrm{tr}(M)$$ Pero desde $M$ sólo ha $0$s y $1$s como entradas esto implica que la traza es integral y, por tanto, $2\Re(\omega)$ es integral. Es fácil comprobar que esto es imposible.

Si permites a otros campos, a continuación, esto es posible. Como julien puntos, si trabajamos sobre $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ $$M=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ es un ejemplo de trabajo.