Esto huele a un problema en el Cálculo de Variaciones y puede ser resuelto como tal. Por lo tanto, hacer una ligera modificación: entre todas las $C^3$ curvas de duración $l$ se originan y terminan en el mismo punto, encontrar la(s) para que el máximo de curvatura es menor.
Vamos a comenzar por el desarrollo de algunos intuición. En general, un problema minimax como esto tiene una solución en la que el objetivo (la curvatura en este caso) es tan constante como sea posible. Un círculo es un candidato obvio para una solución y, de hecho, un círculo de longitud $l$ tiene radio constante $l / (2 \pi)$ y de curvatura constante de $2 \pi / l$.
(Como una pequeña simplificación, por la elección de nuestros lineal de unidades de medida que vamos a asumir de ahora en adelante $l=1$.)
La técnica del Cálculo de Variaciones es la de asumir que tenemos una solución y perturban un poco, mostrando que cualquier perturbación, no importa lo pequeño que sea, puede disminuir el valor del objetivo. Para motivar esta en el presente caso, sin embargo, me resulta más atractivo para considerar la forma en que se podría ir sobre la reducción de la máxima curvatura de cualquier unidad de longitud del bucle. Un punto de máxima curvatura es parte de una relativamente fuerte "bump" en la curva. Si empujamos que protuberancia hacia adentro un poco, se debe ser capaz de disminuir su nitidez y al mismo tiempo nos disminuir ligeramente la longitud total de la curva. Para hacer de éste, de manera uniforme dilatar toda la curva relativa a su punto de origen hasta que la dilatación de la curva de nuevo tiene unidad de longitud. Esta uniformemente disminuye todas las curvaturas a lo largo del bucle. De esta manera la máxima curvatura ha estrictamente disminuido. La única manera en que esta operación puede fallar es cuando no hay ningún "golpe": la curvatura es constante en todas partes.
Para hacer esto, vaya a través de rigor, el uso de un dispositivo adaptado ortonormales marco para la curva: $T(t) = \alpha'(t)$ es la tangente, $N(t)$ es la interna que apunta a la unidad normal con $T'(t) = \kappa(t)N(t)$, e $B(t)$ es la unidad de la binormal, con $N'(t) = -\kappa(t)T(t) + \tau(t)B(t)$ y $B'(t) = -\tau(t)N(t)$. ($\tau$ es la torsión. Estos Serret-fórmulas de Frenet generalizar fácilmente a las dimensiones superiores y en dos dimensiones olvidarse $B$.) Observe que $\kappa \ge 0$. Deje $\epsilon > 0$ ser pequeño y deje $\delta(t)$ ser una superficie lisa y no negativo de la función en un abrir barrio de $[0,1]$, de fuga en $0$ $1$ (a fin de mantener los extremos de la nueva curva fija). Establecer el "empujado" curva se
$$\psi(t) = \alpha(t) + \epsilon \delta(t) N(t).$$
Calcular la curvatura de $\psi$ a primer orden en $\epsilon$ el uso de la Serret-fórmulas de Frenet. Me parece que en la plaza se convierte en
$$\kappa^2 + 2 \kappa \left( \delta'' - \delta \tau^2 \right) \epsilon + O(\epsilon^2).$$
Supongamos que la curvatura no es constante. Entonces existe un intervalo cerrado de máxima curvatura (tal vez la reducción de un punto) y dentro de un barrio de ese intervalo todas las curvaturas son estrictamente menor que el máximo. Podemos hacer $\delta$ cero fuera de este gran barrio, vamos a aumentar lentamente suficiente (y elija $\epsilon$ suficientemente pequeño), de modo que $\delta''$ mantiene la nueva curvatura menor que el máximo en el exterior del barrio, y hacer $\delta''$ estrictamente negativo en todos los puntos dentro del intervalo de máxima curvatura. Este procedimiento estrictamente disminuye el máximo de curvatura en el exterior de intervalo. También puede comprobar, de nuevo a segundo orden en $\epsilon$, que la longitud de $\psi'$ disminuye por $\epsilon \delta \kappa \ge 0$, por lo que vamos a ser capaces de aplicar nuestros dilatación truco para mantener el total de la longitud del bucle constante después de esta perturbación.
Un poco más formalmente (y con menos trabajo, en realidad), la ecuación anterior muestra que al $\kappa$ es constante y $\tau = 0$, necesitaríamos $\delta'' \lt \delta \tau^2 = 0$ en todas partes con el fin de disminuir la curvatura, lo que implica $\delta$ es idéntica a cero en la unidad de intervalo. De lo contrario (es decir, si $\kappa$ no es constante o $\tau \gt 0$), será posible disminuir la curvatura objeto de mantener la unidad de longitud de la curva. Curvas de curvatura constante y cero de torsión son arcos circulares, y el único arco circular que vuelve a su punto de partida es un círculo completo. Por lo tanto, la máxima curvatura en cualquier suficientemente suave unidad de longitud de bucle puede ser no menos de $2 \pi$ y es estrictamente mayor que si el bucle no es un círculo, QED.
Creo que la misma técnica funciona en dimensiones superiores, también, aunque no he hecho los cálculos. (Hay otros vectores en la adaptación del marco, y por lo tanto adicional de torsión términos, pero esto no parece presentar ningún obstáculo para llevar a cabo el mismo programa).
