Para que los valores de $a, b \in \mathbb{R}$ la función de $u(x,y) = ax^2+2xy+by^2$ es la parte real de un holomorphic de la función en $\mathbb{C}$

Question

Para que los valores de $a, b \in \mathbb{R}$ la función $$u(x,y) = ax^2+2xy+^2$$ es la parte real de un holomorphic función en $\mathbb{C}$.

Creo que tenemos que tomar de Cauchy-Riemann teorema, pero no sé cómo encontrar estos dos constantes a partir de una cierta función del $f(x,y) = u(x,y)+i v(x,y)$.

Es alguien me podría ayudar?

Answer 1

Tenemos que

$$\begin{cases}v_x=-u_y=-2x-2by \\ v_y=u_x=2ax+2y\end{cases}$$

Ahora, la integración de $v_x$ $(0,0)$ $(x,0)$ $v_y$ $(x,0)$ $(x,y)$ $v_y$ $(0,0)$ $(0,y)$ $v_x$ $(0,y)$ % tenemos dos expresiones para $(x,y)$ que debe ser igual. De hecho

$v(x,y)$$

Que es, $$\begin{cases}v(0,y)-v(0,0)=\int_0^y v_y(0,t)dt=y^2 \\v(x,y)-v(0,y)=\int_0^x v_x(t,y)dt=-x^2-2bxy \\ v(x,0)-v(0,0)=\int_0^x v_x(t,0)dt=-x^2 \\v(x,y)-v(x,0)=\int_0^y v_y(x,t)dt=2axy+y^2\end{cases}$$$v(x,y)=v(0,0)+y^2-x^2-2bxy=v(0,0)-x^2+2axy+y^2,$b=-a.$

Finalmente, se verifica que $ which gives us $ satisfacer las Cauchy-Riemann ecuaciones, y, por eso, $u(x,y)=ax^2+2xy-ay^2, v(x,y)=v(0,0)-x^2+2axy+y^2$ es holomorphic.

Answer 2

Este Resultado y de Cauchy Riemann Ecuaciones muestra que $u(x,y)$ es la parte real de holomorphic función fib $u$ es armónica. Por eso,$u_{xx}+u_{yy}=0$ es decir $b=-a$. QED