Que holomorphic la función de este es la parte real de la?

Question

En el artículo "El Teorema de la Función Inversa de Nash y Moser" por Richard S. Hamilton se afirma que existe una función de $\phi$ tal forma que:

$$\int_{0}^{\infty}t^{n}\phi(t)dt=(-1)^{n}$$

Para $n=0,1,2,...$. En realidad, uno es siempre. El ejemplo es:

$$\phi(t)=\frac{e^{2\sqrt{2}}}{\pi(1+t)}e^{-(t^\frac{1}{4}+t^\frac{-1}{4})}\sin(t^\frac{1}{4}-t^{\frac{-1}{4}})$$

Mi problema es que en el documento se dice que la verificación de la integral se puede hacer por métodos de contorno de integración mediante el reconocimiento de esta función como la parte real de un holomorphic función. El problema que tengo es que no tengo idea de cómo identificar este holomorphic función. Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias de antemano.

Answer 1

Wahoo, esto es genial. Reemplace $t$ $u^4$ para tener: $$I_n=\int_{0}^{+\infty}t^n \phi(t)\,dt = \frac{4e^{2\sqrt{2}}}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{u^{4n+3}}{1+u^4}\sin(u-1/u)\exp(-u-1/u)\,du,$$ luego se divide $[0,+\infty)=[0,1]\cup[1,+\infty)$ y el uso de la sustitución de $u\leftarrow 1/u$ en el segundo intervalo con el fin de tener: $$I_n = \frac{4e^{2\sqrt{2}}}{\pi}\int_{0}^{1}\frac{u^{4n+2}-u^{-4n-2}}{u^2+u^{-2}}\sin(u-1/u)\exp(-u-1/u)\frac{du}{u}.$$ Ahora sustituye $u=e^{-v}$ para tener: $$I_n = \frac{4e^{2\sqrt{2}}}{\pi}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sinh((4n+2)v)}{\cosh(2v)}\sin(2\sinh v)\exp(-2\cosh v)\,dv,$$ y puesto que el integrando de la función es: $$I_n = \frac{2e^{2\sqrt{2}}}{\pi}\Im\int_{\mathbb{R}}\frac{\sinh((4n+2)v)}{\cosh(2v)}\exp(2i\sinh v-2\cosh v)\,dv.$$ Podemos acercarnos a la última integral con la habitual complejo de técnicas analíticas, mediante la integración de la función sobre un rectángulo con vértices en a $-R,R,R+\frac{\pi}{2}i,-R+\frac{\pi}{2}i$. La única singularidad que importa es el $v=\frac{\pi}{4}i$: desde el residuo de el integrando de la función en un punto es: $$\frac{(-1)^n}{2}e^{-2\sqrt{2}}$$ tenemos $I_n=(-1)^n$ tal como se reivindica.

Answer 2

En general, una analítica de la función debe tener armónico partes real e imaginaria (es decir, que satisfacen la ecuación de Laplace) y satisfacer el Cauchy-Riemann ecuaciones.

En este caso, reemplace el seno en un complejo exponencial.