He escuchado esta pregunta de un profesor hace un par de años. Todavía pienso en él...
¿La secuencia de $(a_n)_{n\in \mathbb N}$ con $$a_n=\sqrt[n]{|\sin(n)|}$$ converges ( to $1$ ) ?
Creo que esta pregunta es relativa a la aproximación racional.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Como se ha sugerido en los comentarios, esto tiene que ver con aproximaciones racionales de $\pi$, cuya precisión es cuantificado por la irracionalidad de la medida de $\pi$. La secuencia converge porque la irracionalidad de la medida de $\pi$, aunque desconocido, se sabe que es finito.
Para los números enteros $p$ $q$ $q$ suficientemente grande, tenemos
$$ |p-q\pi|\gt\frac1{q^{\mu-1}}\;, $$
donde $\mu$ es cualquier número real mayor que la irracionalidad medida de $\pi$. Ahora si $q\pi$ es el número entero múltiplo de $\pi$ más cercano a $n$,$|\sin(n-q\pi)|\ge\frac2\pi|n-q\pi|$, por lo que para suficientemente grande $n$
$$ \sqrt[n]{|\sin(n-q\pi)|}\ge\sqrt[n]{\frac2\pi|n-q\pi|}\gt\sqrt[n]{\frac2\pi\frac1{q^{\mu-1}}}\ge\sqrt[n]{\frac2\pi\frac1{\left(n\pi+\frac\pi2\right)^{\mu-1}}}=\sqrt[n]{\frac2\pi}\exp\left(-\frac{\mu-1}n\log\left(n\pi+\frac\pi2\right)\right)\longrightarrow_{n\to\infty}1\;. $$
