Suma relacionados con la función zeta

Question

Yo estaba tratando de evaluar la siguiente suma: $$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k+1)^3}$$

W|A le da una agradable forma cerrada, pero tengo cero idea acerca de los pasos requeridos para evaluar la suma. Cómo acercarse a la suma de los importes?

El siguiente es el resultado dado por W|A: $$\frac{13\zeta(3)}{27}+\frac{2\pi^3}{81\sqrt{3}}$$

Cualquier ayuda es muy apreciada. Gracias!

Answer 1

Observe que $$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k+1)^{3}} = \frac{1}{27} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(k+\frac{1}{3})^{3}} = - \frac{1}{54} \psi_{2}\left(\frac{1}{3} \right) $$

donde $\psi_{2}(x)$ es la segunda derivada de la función digamma.

La diferenciación de la multiplicación de la fórmula para la función digamma dos veces y dejando $q=3$,

$$\psi_{2}(x) + \psi_{2} \left( x+ \frac{1}{3} \right) + \psi_{2} \left(x+ \frac{2}{3} \right) = 27 \psi_{2}(3x) .$$

Por lo tanto, $$ \begin{align} \psi_{2} \left(\frac{1}{3} \right) + \psi_{2} \left( \frac{2}{3} \right) &= 27 \psi_{2}(1) - \psi_{2}(1) \\ &=27 \left( -2 \zeta(3) \right) + 2 \zeta(3) = -52 \zeta(3). \tag{1}\end{align} $$

Y la diferenciación de la reflexión de la fórmula para la función digamma dos veces,

$$ \psi_{2} (x) - \psi_{2}(1-x) = - 2\pi^{3} \cot(\pi z) \csc^{2}(\pi z) .$$

Por lo tanto, $$\psi_{2} \left(\frac{1}{3} \right) - \psi_{2} \left( \frac{2}{3}\right) = - \frac{8 \pi^{3}}{3 \sqrt{3}} . \tag{2}$$

La adición de $(1)$$(2)$,

$$ \psi_{2} \left( \frac{1}{3}\right) = -26 \zeta(3) - \frac{4 \pi^{3}}{3 \sqrt{3}} .$$

Así

$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3k+1)^{3}} = \frac{13 \zeta(3)}{27} + \frac{2 \pi^{3}}{81 \sqrt{3}} .$$

Answer 2

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{}$ \begin{align} \color{#66f}{\large\sum_{k = 0}^{\infty}{1 \over \pars{3k + 1}^{3}}} &={1 \over 27}\sum_{k = 0}^{\infty}{1 \over \pars{k + 1/3}^{3}} =\left. -\,{1 \over 27}\,\partiald{}{\mu}\sum_{k = 0}^{\infty} {1 \over \pars{k + \mu}\pars{k + 1/3}}\,\right\vert_{\,\mu\ =\ {1/3}} \\[3mm]&=-\,{1 \over 27}\,\partiald{}{\mu}\bracks{% \Psi\pars{\mu} - \Psi\pars{1/3} \over \mu - 1/3}_{\mu\ =\ {1/3}} =-\,{1 \over 54}\,\Psi''\pars{1 \over 3} \\[3mm]&=\color{#66f}{\large{1 \over 243}\bracks{2\root{3}\pi^{3} + 117\zeta\pars{3}}} \approx 1.0208 \end{align}

Ver a un Zeta de Hurwitz Función de enlace.

Answer 3

También se puede iniciar a partir de $$\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{(3k+1)^3}=\frac{1}{54} \left(\psi ^{(2)}\left(m+\frac{4}{3}\right)-\psi ^{(2)}\left(\frac{1}{3}\right)\right)$$ which simplifies to $$\sum_{k=0}^{m} \frac{1}{(3k+1)^3}=\frac{1}{54} \left(\psi ^{(2)}\left(m+\frac{4}{3}\right)+26 \zeta (3)+\frac{4 \pi ^3}{3 \sqrt{3}}\right)$$and take the limit for an infinite value of $m$. Esto conduce a la respuesta dada por Felix Marin y por Wolfram Alpha.

De hecho, hay una buena generalización de $$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(ak+b)^c}=a^{-c} \zeta \left(c,\frac{b}{a}\right)$$ en el que aparece Hurwitz Zeta función.