¿Qué importancia tiene una fórmula para las partes real e imaginaria de un número complejo?

Question

He aprendido que

$$\bbox[8px,border:1px solid black]{\operatorname{Re}(z)= \frac{z+\overline{z}}{2} \qquad \qquad \operatorname{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}} $$

Y que en el número $z=a+bi$ , $a$ es la parte real y $b$ es la parte imaginaria. Las fórmulas que he mencionado anteriormente se utilizan para obtener $a$ y $b$ solo. Pero al mirar $z$ Podría conseguir la parte real simplemente tomando $a$ e ignorando el resto. Lo mismo es válido para $b$ y en ambos casos, sin utilizar las fórmulas. Entonces, ¿por qué son importantes estas fórmulas? Acabo de aprender los fundamentos de los números complejos y todavía no sé por qué uno necesita esas fórmulas.

Answer 1

Esta es una buena pregunta. A menudo aprendemos fórmulas sin preguntarnos por qué son útiles.

He reescrito este post media docena de veces. Cada vez, pensé que tenía un buen uso, pero luego descubrí que no necesitaba las fórmulas después de todo. Dicho esto, creo que he encontrado una.

Utilizando la forma exponencial $z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta$ vemos que

$$\begin{eqnarray*} \cos\theta &=& \frac{1}{2}\!\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\right) \\ \\ \sin\theta &=& \frac{1}{2\mathrm{i}}\!\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}\right) \end{eqnarray*}$$ Podemos utilizar estas fórmulas para evaluar el seno y el coseno en el plano complejo: $$\begin{eqnarray*} \cos(\mathrm{i}) &=& \frac{1}{2}\!\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathrm{i}} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathrm{i}}\right) \\ \\ &=& \frac{1}{2}\!\left(\mathrm{e}^{-1} + \mathrm{e}^{1}\right) \\ \\ &=& \frac{1+\mathrm{e}^2}{2\mathrm{e}}\approx 1.543 \end{eqnarray*}$$ He ignorado el problema de los multivalores, es decir $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\theta+2\pi k)}$ para todos $k \in \mathbb{Z}$ .

Answer 2

Por ejemplo, usted sabe que $e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y + i \sin y)$ y $\overline{e^z}=e^{\overline{z}}=e^x(\cos y -i \sin y)$ Así que tienes dos bonitas ecuaciones $\sin y=\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}$ y $\cos y=\frac{e^{iy}+e^{-iy}}{2}$ .

Answer 3

Usted tiene $z + \bar{z} =4$

y se te pide que encuentres la parte real del número complejo lo obtienes mediante esta fórmula. Este es el uso más básico de esta fórmula, más adelante en el curso verás su importancia.

Una sugerencia cada vez que se aprende un nuevo tema y su fundamento no pensar en lo que es su importancia a menos que usted es genio sólo que dejar que la pregunta viene a pensar cómo se aplica la fórmula y luego volver a leer el tema que usted mismo puede llegar al punto. Aunque es bueno que hayas preguntado aquí ya que te abre las puertas para que veas su aplicación de largo alcance.

Answer 4

Permítanme explicar un par de utiliza para las fórmulas de $\sin$ y $\cos$ en términos de $e^{iz}$ .

Podemos combinarlas con la fórmula de la suma geométrica para calcular varias sumas y productos trigonométricos sin necesidad de recordar las fórmulas trigonométricas. Por ejemplo $\sin(x)+\sin(2x)+\cdots+\sin(nx)$ .

Podemos intercambiar entre expansiones de Fourier en términos de senos y cosenos reales o exponenciales complejos, o calcular integrales que involucren senos y cosenos (por ejemplo, las relaciones de ortogonalidad).

Además, aunque esas fórmulas para las partes real e imaginaria de un número complejo no sean del todo omnipresentes, la idea detrás de ellos es muy importante en las matemáticas superiores: descomponer algo en sus "partes propias". Esto aparece en el álgebra lineal, donde un operador diagonalizable puede descomponerse como una suma directa de operadores escalares en eigensubespacios. Se pueden simetrizar o antisimetrizar los tensores (o realizar simetrizaciones sesgadas aún más exóticas). Se puede descomponer una función en una mezcla integral de funciones duales (caracteres en el entorno generalizado de los grupos abelianos localmente compactos y el análisis armónico abstracto). Se puede descomponer en raíces y pesos en el entorno de las álgebras de Lie y la teoría de la representación. Y así sucesivamente.

Answer 5

Un ejemplo de un ámbito en el que pueden ser útiles es el de las ecuaciones diferenciales.
Dada, por ejemplo, la ecuación $ \frac{d^2y}{dx} + y = 0 $ existen técnicas que permiten determinar que la solución es $ y = a\cdot e^{ti} + b\cdot e^{-ti} $ donde $ a $ y $ b $ son números complejos arbitrarios. Sabiendo que $ e^{ti} = \overline{e^{-ti}} $ y que Re(z) e Im(z) pueden escribirse como combinaciones lineales de $ z $ y $\bar{z} $ podemos reformular la solución como $ y = c \cdot Re(e^{ti}) + d \cdot Im(e^{ti}) $ o $ y = c \cdot cos(t) + d \cdot sin(t) $ (con $c$ y $d$ de nuevo constantes arbitrarias).

Básicamente, conocer esas identidades nos ayudó a encontrar una solución a la ecuación utilizando sólo números reales.