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Es $k_B \rightarrow 0$ el límite clásico de la estadística. mech., como $\hbar \rightarrow 0$ es en QM?

Escucho muy a menudo entre mis compañeros y adultos mayores que así como cómo $\hbar\rightarrow0$ me lleva a la mecánica clásica de la mecánica cuántica, $k_B\rightarrow0$ me llevará a la termodinámica clásica de la mecánica estadística.

Tan bonito como esto suena, mi sensación y la intuición me dice que esta no es la analogía correcta. Creo $N\rightarrow\infty$, el tamaño de conjunto de estadística mecánica del sistema, está más cerca de a $\hbar\rightarrow0$ a ese respecto. Es esto correcto?

Si es así, ¿cuál es el papel de la $k_B$ juego?

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Nick Puntos 583

Son dos límites diferentes en la que dos diferentes constantes son enviados a cero y el resultado de la limitación de la teoría tiene diferentes nombres.

Sin embargo, dos de ellos son los límites para dimensionful constantes y la analogía es perfecta.

El derivado $\hbar\to 0$ límite de la teoría de la mecánica cuántica es una teoría clásica – su límite clásico – en el mismo sentido en el que el derivado $k\to 0$ límite de las leyes de la mecánica estadística producir las leyes de la termodinámica.

Ahora, el límite de $k\to 0$ $N\to \infty$ realmente significa la misma cosa, porque la suposición implícita en todos estos limitación de los procedimientos es que el macroscópico cantidades conocidas de la vida cotidiana se mantienen finito – y esencialmente fija. Este es especialmente el caso de la energía y la temperatura. La energía térmica de $N$ átomos es algo así como $$ E=3kTN/2 $$ Si tanto $E,T$ son fijos, es claro que el $k\to 0$ límite es exactamente la misma cosa que el $N\to\infty$ límite. El límite termodinámico simplemente significa que estamos olvidando a todos los efectos en un sistema de energía que son causados por la finitud del número de átomos de o, de manera equivalente, la finitud (valor distinto de cero) de la contribución de un solo átomo a la totalidad (que es proporcional a $k$).

Uno tiene la libertad para describir el límite de muchas maneras en la mecánica cuántica caso, también. Podemos decir que el límite clásico aparece como $\hbar\to 0$. Pero también podemos decir que el límite clásico surge cuando $N_J\to \infty$ donde $N_J=J_z/\hbar$, por ejemplo. Cuando el momento angular (o la acción $S$) se escribe como un múltiplo de $\hbar$, los coeficientes adimensionales' $N_J\to\infty$ es lo mismo que $\hbar\to 0$, ya que su producto es fijo. La física clásica debe descuidar todos los efectos causados por la situación cuando el total de las cantidades", que describe el sistema son tan pequeños que son comparables a $\hbar$ (que es el régimen en el que los fenómenos cuánticos se convierten en importantes). De nuevo, estamos comparando dos cosas, diciendo que uno de ellos es infinitamente más grande que la otra es lo mismo que decir que el otro es infinitamente más pequeña.

En ambas situaciones, uno tiene muchas opciones de lo $N$ o $N_J$ puede ser exactamente. Pero en ambos casos, el límite de la dimensionful constante va a cero, si es $k$ o $\hbar$, equivalente a unos números adimensionales' (los que miden cuánto el sistema es relativamente mayor a la estadística o mecánica cuántica "básicos", donde la teoría más general se muestra en todo su esplendor) que va hasta el infinito.

Porque la razón de probabilidades de que una entropía proceso de cambio y su inversión de tiempo va como $\exp((S_B-S_A)/k)$, podemos ver que para los fijos $S_A,S_B$ en macroscópicas de las unidades, la relación es estrictamente infinito. Así, en la termodinámica, es decir, el límite termodinámico de las consideraciones estadísticas, una disminución de la entropía es estrictamente imposible.

Por último, permítanme mencionar que el nonrelativistic límite es análogo a los dos límites anteriores, también. Podemos decir que el límite involucra $c\to\infty$, lo que es claramente lo mismo que $1/c\to 0$: desempeña el mismo papel de la $k\to 0$, por ejemplo. Sin embargo, también podemos decir que la velocidad real son mucho más pequeños que $c$ en el límite, por lo $\beta=v/c\to 0$ o $1/\beta\to \infty$. Eso es análogo a $N\to\infty$ o $N_J\to\infty$ por encima.

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bjarkef Puntos 117

Sí, cuando la gente hablaba sobre el límite termodinámico, se refieren siempre al límite de un gran número de partículas, o $N \to \infty$.

El papel de la $k_B$ es vincular el microscopio cantidades y cantidades termodinámicas macroscópicas. En la Mecánica Newtoniana, ya hemos definido el impulso y la energía cinética muy claro. Por otro lado, la Termodinámica se desarrolló por separado de las cantidades que como el volumen, la presión y la entropía. No está claro cómo estas dos cantidades están relacionadas, o convertido el uno al otro, hasta que la gente encuentre la constante de Boltzmann $k_B$. Podría ser un poco sorpresa de que sólo una de las constantes, se puede relacionar a todos ellos juntos, pero también indican que tan bien cuando desarrollan la Termodinámica.

Una relación es el promedio de la energía cinética y temperatura, los cuales están relacionados por $$\frac{1}{2} m \left\langle v^2\right\rangle = \frac{3}{2} k T$$ Similar entre la energía y la temperatura también puede ser visto en el factor de Boltzmann: $$p_i = e^{-\frac{E_i}{k_B T}}$$ Otro ejemplo es la relación entre la entropía y el número de estado: $$S = k_B \ln(\Omega)$$

Estas relaciones relativas de las cantidades termodinámicas sólo puede tener sentido cuando estamos hablando de la media, en la que el sistema puede también ponerse en contacto con el ambiente externo. Gran número de partículas, o $N\to \infty$, garantía de que la fluctuación del valor de la media es del orden de $\mathcal{O}(1/\sqrt{N})$, debido al teorema del límite central. Por lo tanto, las cantidades termodinámicas puede ser bien definido.

Una pregunta aquí es ¿por qué no utilizamos directamente, decir, el número de estado en lugar de la entropía. Una razón es que la cantidad puede ser impractically grande. Otra razón es que cada vez que hablamos con la termodinámica cantidad, nosotros siempre significa que el promedio de la cantidad con la fluctuación aleatoria. Es útil para el sistema abierto, ya que está en continuo intercambio de calor y de las partículas con el medio ambiente, pero las cantidades de energía, así como de las partículas no es constante.

-1voto

Tom Puntos 287

Todo depende de a qué te refieres por la mecánica estadística y la termodinámica clásica. Hay al menos tres versiones de la mecánica estadística, (1) un puro cuántica versión con densidad matricies, (2) un semi-cuántico de la versión en la que los niveles de energía cuantizados, pero otras cosas son clásicos, y (3) la clásica pura mecánica estadística versión desarrollada por Boltzmann y Gibbs y que fue el padre de ambos (1) y (2).

No estoy seguro de lo que quieres decir por la termodinámica clásica. O, más exactamente, lo que no clásica de la termodinámica podría ser. En general todas las versiones de estadística la mecánica de conducir a los resultados de la termodinámica siempre y cuando la temperatura no es demasiado alta o demasiado baja, el volumen del sistema es mucho mayor que su superficie, y el número de partículas en el sistema es grande, pero no tan grande que el número densidad ($n/V$) llega a ser demasiado grande.

Esto es lo mejor que puedo hacer. Si usted refinar su pregunta la gente puede ser capaz de llegar con una mejor respuesta.

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