¿Por qué es el principio de incertidumbre de Heisenberg declaró la manera que es?

Question

Pasé un largo tiempo, ser confundido por el principio de incertidumbre de Heisenberg en mi cuántica clase de química.

Con frecuencia se afirma que "la posición y el momentum de una partícula no puede ser al mismo tiempo sabe de precisión arbitraria" (o cualquier otro observables $[A, B] \neq 0$).

Esto no tenía ningún sentido para mí -- ¿por qué no puede usted medir tanto de estos? Es mi instrumento sólo va a dejar de trabajar en una determinada escala de longitud? El Internet fue de poca ayuda; Wikipedia lo describe de esta manera y se mete en argumentos filosóficos sobre lo que la "posición" y "momentum" significa y si existe realmente (en mi opinión, irrelevante tontería que no tiene ningún efecto sobre nuestra capacidad para predecir las cosas).

Finalmente fue la ecuación en sí, que me dio una mejor perspectiva:

$$\sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2}$$

Mira que no hay dos desviaciones estándar por ahí! Es imposible , por definición, tienen una desviación estándar de una sola medición. Se requiere de varias medidas, para que tenga sentido en absoluto.

Después de un sondeo y preguntando por ahí me di cuenta de lo que esto significa en realidad:

Múltiples medidas que se repiten de forma idéntica preparado de los sistemas no dan resultados idénticos. La distribución de estos resultados está limitada por esa fórmula.

Wow! Mucho más clara. Por lo tanto $\hat{r}(t)$ $\hat{p}(t)$ puede ser conocido por los mismos valores de $t$ a tanto de precisión como de su equipo de medición. Pero si se repite el experimento, usted no va a obtener los datos idénticos.

¿Por qué no todo el mundo acaba de estado de esa manera? Me siento como que eliminaría muchos un estudiante de la confusión. (A menos que, por supuesto, todavía me falta algo – siéntase libre de aclararme que debe ser el caso).

Answer 1

Nick, No se sorprenda de que esto es confuso. Hay un montón de conceptos que se entremezclan en la discusión del principio de incertidumbre que con frecuencia no se entiende claramente y están entrelazados de forma involuntaria.

Aunque uno ve a menudo que estos se expresan en términos estadísticos, la desviación estándar no requerir directamente de múltiples observaciones de una muestra a entender. Tradicional estadísticas no dependen de la toma de muestras repetidas con el fin de desarrollar una desviación estándar, sin embargo en la mecánica cuántica, la idea está más estrechamente asociado con las propiedades asociadas con la transformada de Fourier.

Para entender la transformada de Fourier, uno debe primero entender lo que es una serie de Fourier . El hipervínculo que te llevará a una discusión acerca de la serie de Fourier como se relaciona con el sonido. A partir de los dos minutos que ver una representación de un dientes de sierra como de la forma de onda. Cuando se muestran en el video cómo los dientes de sierra como de la onda tiene muchos componentes, los componentes se determinan mediante la realización de una transformada de Fourier. En muchos casos, se transforman las series de tiempo de las funciones en funciones de frecuencia (que es directamente proporcional a la energía), pero la transformación es también aplicable a situaciones en las que uno está transformando la posición en el impulso.

Esencialmente lo que sucede, es que si uno quiere tener completa certeza en el valor de la velocidad (o la energía), uno debe mirar a toda la posición (o el tiempo) del espectro. En otras palabras, una posición definida, cuando se transforma en el impulso de dominio, requiere de todo el impulso de dominio. Si uno permite que un poco de incertidumbre en la posición, no requiere de todo el impulso de dominio.

Esta relación puede ser bien definida, ya que se refiere a las transformadas de Fourier. Este es el verdadero origen del principio de incertidumbre, y no requiere de una interpretación estadística de entender.

Answer 2

El principio de incertidumbre de la mecánica cuántica es ni una declaración acerca de las transformadas de Fourier, ni es una declaración acerca de la "precisión" de las mediciones como tal (aunque la medición experimental de la desviación estándar es, por supuesto, sólo accesible por la repetición de experimentos).

Para cualquier estado cuántico $\lvert \psi \rangle$ y observables $A$, podemos definir la mecánica cuántica expectativa de valor como $$ \langle A \rangle_\psi := \langle \psi \vert A \vert \psi \rangle $$ porque este es, de hecho, la expectativa de valor al realizar la (fuerte) medición de $A$ sobre un conjunto de idénticamente preparados estados $\lvert \psi \rangle$.

La desviación estándar de la observables para este estado en particular es entonces $$ \sigma_A(\psi) = \sqrt{\langle A^2 \rangle_\psi - \langle A \rangle_\psi^2}$$ y la razón por la que digo que no sea cero, la desviación estándar significa que $\lvert \psi \rangle$ no tiene un valor definido para $A$ "el hecho de tener un valor definido" significa que $\lvert \psi\rangle$ es un eigenstate de $A$, y esto implica directamente a $\sigma_A(\psi) = 0$.

Ahora, para los dos observables $A,B$, uno puede obtener la incertidumbre general de la relación de $$ \sigma_A(\psi)\sigma_B(\psi)\geq\frac{1}{2}\lvert\langle [A,B] \rangle_\psi\rvert$$ y la dependencia de esta en el estado $\psi$ es crucial. Incluso si dos variables observables no conmuta, la expectativa de valor de su conmutador, todavía podría ser cero en algunos estados, es decir, que pueden tener algunas común autoestados, no sólo una base que consiste de aquellos. En particular, distinto de cero expectativa de que el conmutador implica que la norma devitations no son cero, por lo que el estado al que nos enfrentamos no es una eigenstate de $A$ o $B$, es decir, no tiene un "bien definido de valor" para $A$ o $B$.

La razón de esto no se discute para el par de variables observables $x$ $p$ es que su colector es un múltiplo de la identidad, cuya expectativa de valor no depende del estado. Además, sí, para $x$ $p$ esto coincide con el producto de la anchura de una función de $x$ y el ancho de su transformada de Fourier, pero esto no es cierto en general - no todos los observables son de Fourier relacionadas (de hecho, $x$ $p$ son casi los únicos - y la incertidumbre de la relación es mucho más general de lo que esta.

Answer 3

La mecánica clásica se supone que el estado de un objeto puede ser descrito con precisión arbitraria, por su posición y el momentum. Que es en la mecánica clásica el estado de la partícula es, matemáticamente hablando, una fase de vector. (Y, las leyes físicas que rigen la partícula de movimiento puede ser considerado como una trayectoria en este espacio vectorial.)

Pero la mecánica cuántica utiliza un concepto completamente diferente de la del estado de una partícula.

En QM, el "estado" es una suma ponderada de un conjunto de funciones de distribución de probabilidad. Cada función en el conjunto describe una posible configuración del sistema, y los pesos representan la probabilidad de que el sistema está en esa configuración. Para calificar como una función, cada función debe ser una posible solución a la ecuación de onda (que es la ley de la física que define la totalidad del sistema.)

Se llama a estas funciones las funciones propias de la ecuación de onda. Ahora, un estado en particular puede ser descrito más que una forma como la suma ponderada de más que un posible conjunto de funciones propias, de la misma manera que un particular dado tres-espacio vectorial puede ser descrito de manera diferente, utilizando diferentes coordenadas y diferentes vectores de la base.

Pero, el conjunto particular de funciones propias que localiza la posición de una partícula en el espacio con precisión (dirac picos) no contiene ninguna información acerca de su impulso, y del mismo modo el conjunto de funciones propias que describen el impulso precisamente (no localizado formas de onda) no especifica la partícula de la ubicación de alguna manera.

Otros conjuntos de funciones propias entre estos dos extremos puede ser escogido como base para describir el estado, pero el producto total de la información sobre la ubicación y el impulso siempre es limitada.

El principio de incertidumbre es una consecuencia de cómo el 'estado' se define en la mecánica cuántica, y se aplica a cualquier descripción de cualquier partícula. Realmente no tiene nada que ver con la medición en todos los (o las propiedades estadísticas de los agregados de partículas.)

Answer 4

Voy a convertir mis comentarios en una respuesta.

La mecánica cuántica es el estrato subyacente de la naturaleza, sino que domina el microcosmos, de dimensiones proporcionales a $2\pi\hbar\;\; 4.135667516(91)×10^{−15}~\text{eV·s}$ . Números muy pequeños. El Principio de Incertidumbre de Heisenberg (HUP) no se aplica estadísticamente, que se aplica sobre las partículas individuales, sean de primaria, moléculas o fonones etc en los sólidos, la persona de "partículas".

No estamos hablando de la acumulación de estadísticas y errores estadísticos.La mitad de su incomprensión viene a causa de los sigmas en la fórmula que se encuentra, ya que el sigma símbolo está asociado con la desviación estándar.

El símbolo delta es más adecuado porque no tiene nada que ver con las estadísticas, es la matemática de la gama del valor: $p \pm \Delta p.$ Si se quiere restringir el impulso dentro de este rango, entonces la medición de la posición está limitado por el principio de incertidumbre de Heisenberg. Por lo que el mejor sabe impulso el peor sabe posición, y viceversa.

Las sondas son macroscópicos y se utiliza estadísticamente . Cuando hablamos de la mecánica cuántica cantidades que debemos abordar único partículas individuales:

Tomar una sola molécula ionizada, lo puso en un campo magnético de manera que el círculo va a hacer que le dará el impulso p diseñado con precisión $\Delta p.$ El HUP indica que cualquier detector de posición a diseñar para la misma partícula, por ejemplo, una emulsión de la película, sólo será capaz de darle una $\Delta x$ para el mismo objeto dentro de la HUP restricción.

Editar después de pensar en los comentarios:

En el nivel de matemáticas el Principio de Incertidumbre de Heisenberg ( HUP), se relacionan directamente con las relaciones de conmutación. A su vez, este operador de relación que se imponía en la función de onda se le dará un valor que dependerá de la función de probabilidad dada por la función de onda cuadrada.

Ahora en la mecánica clásica tenemos una muy específica de la distribución de probabilidad que se llama el Gaussiano y que es la distribución de probabilidad de los errores de un valor de medición, si el error es aleatorio, no es sistemático. Cuando uno utiliza el símbolo sigma inmediato es en referencia a una distribución de probabilidad Gaussiana.

La distribución de probabilidad de una función de onda no es generalmente una Gaussiana. Puede ser una solución de onda, puede ser un decaimiento exponencial y dependiendo de la complejidad de uno cualquiera de un gran número de funciones que, en cualquier sentido, de forma aproximada el comportamiento de la Gaussiana en el intervalo de las variables de $x$ o $p.$

Por lo tanto, el uso matemático de $\Delta x\; \&\; \Delta p$, un intervalo de la variable, es una mejor descripción de la verdad, si uno entra en soluciones de ecuaciones.

Al mismo tiempo, cabe destacar que el HUP es un sobre con el resultado posible de soluciones detalladas, sin necesidad de ir a la molestia de resolver ecuaciones y la imposición de condiciones de contorno. Por lo tanto $\Delta x\; \&\; \Delta p$ son una forma mucho más precisa descripción de la probabilidad de la naturaleza de QM. Por ejemplo, dada una central de $x$ , el HUP dice que sin soluciones detalladas, la probabilidad de encontrar la partícula en un punto dentro del intervalo de $\Delta x$ es desconocido (dentro de los límites). Una Gaussiana daría mayor probabilidad para el valor central.

Answer 5

La partícula es descrito por una onda que se propaga en la posición y el impulso de espacio. No es posible producir un wavepacket que no respeta la HUP. Usted puede hacer wavefunctions sufrir interferencia y cuando se someten a la interferencia de los cuadrados de las amplitudes de no respetar el cálculo de la probabilidad, para un ejemplo, ver

http://arxiv.org/abs/math/9911150.

Como resultado de ello, no tiene sentido decir que toda la función de onda está haciendo es representar una distribución de probabilidad. Dado que todos los instrumentos de medición están hechos de partículas que también el respeto a la HUP no existen instrumentos de medición que puede registrar la posición y el ímpetu con precisión arbitraria. El hecho de que las cosas alrededor de ustedes no se ven extendidas hacia fuera es debido al hecho de que son esparcidas en una escala que es demasiado pequeño para que usted vea en la vida cotidiana, y más complicadas cuestiones como la decoherencia.