Actualmente estoy trabajando a través de Stewart y Alto de la Teoría Algebraica de números. En particular, la sección 4.9 de este libro ofrece una prueba de la Ramanujan-Nagell Teorema que afirma que el único entero soluciones de la ecuación de $x^2 + 7 = 2^n$ en números enteros $x$ $n$ están dadas por $$\begin{align} x &= \pm 1, & n &= 3,\\[0.05in] x &= \pm 3, & n &= 4,\\[0.05in] x &= \pm 5, & n &= 5,\\[0.05in] x &= \pm 11, & n &= 7,\\[0.05in] x &= \pm 181, & n &= 15.\\[0.05in] \end{align}$$
La prueba se da casi textualmente en este pdf a partir de la página 6.
Hacia el final de la prueba, encontramos que las soluciones de la congruencia $$-2^{m-1} \equiv m \pmod{7}$$ are $m = 3$, $5$, or $13 \pmod{42}$ ($m$ is assumed to be odd), and then aim to show that only $3$, $5$ or $13$ can occur. We let $m_1$ and $m$ be two such solutions that are congruent modulo $42$ and let $l$ be such that $7^l$ is the largest power of $7$ dividing $m-m_1$.
La parte de la prueba que me confunde sigue después de esto. Se afirma que
$$(1+\sqrt{-7})^{m_1 - m} \equiv 1 + (m_1 - m)\sqrt{-7} \pmod {7^{l+1}}$$
y que de esta manera se sigue por
en primer lugar, [sensibilización] para potencias $7, 7^2, \ldots, 7^l$,$\frac{(m - m_1)}{7^{l}}$.
¿Qué estamos criando a los poderes de la $7,\ldots,7^l$, y como la congruencia sigue de esto? Yo realmente no entiendo esta congruencia; había asumido inicialmente se asumió $m_1 < m$ porque directamente encima de esta congruencia levantamos $1/2$ a la potencia $m_1 - m$, por lo que si $m_1 - m$ fueron negativos sólo sería $2^{m-m_1}$. Yo no he visto congruencias con las fracciones antes, pero me gustaría lo contrario, asumir que $1/2$ es congruente a $4$ modulo $7$, siendo el inverso de a$2$$\mathbb{Z}_7^*$.
Supongo que la respuesta a cómo esta congruencia se resuelve también me ayudan a entender por qué
$$a^m \equiv \frac{1 + m\sqrt{-7}}{2^m} \pmod{7}$$ donde $$a = \frac{1 + \sqrt{-7}}{2}$$
debido a que en ambos casos el exponente de un lado termina de alguna manera como un factor multiplicativo en el otro.
Para intentar entender por qué estos congruencia relaciones, cogí Introducción a la Teoría de los números por James E. Shockley, pero lo único que he encontrado que implica la manipulación de poderes en la congruencia de las relaciones índices; yo siento que esto no es relevante porque no veo cómo raíces primitivas entran en juego aquí, pero tengo que admitir que mi comprensión de éste es limitado.
Por último, tenemos entonces sustituto de la congruencia relación dada por $a^m$ en congruencia modulo $7^{l+1}$. Esto me confunde, porque la relación de congruencia con $a^m$ es dado modulo $7$ -, ¿cómo podemos sustituir congruencias cuando uno se da modulo $7$ y el otro modulo $7^{l+1}$? es decir, si $\gamma \equiv 0 \pmod{7}$ no va a ser necesariamente cierto que $\gamma \equiv 0\pmod{49}$ $\gamma$ podría haber sido $14$, etc.
Agradecería cualquier ayuda en la comprensión de este. Si he perdido por completo algún hecho sobre congruencias o lo que sea, si usted podría sugerir libros de texto que sería bueno para entender mejor de que sería demasiado grande! Gracias.
PS. Soy nuevo en el sitio, así que si hay algo mal hecho o incorrectamente con la publicación de esta pregunta, por favor hágamelo saber, es decir, el formato, la pregunta es demasiado larga y laberíntica, etc.
