Transformada de Fourier del núcleo de Schrödinger: ¿cómo calcularla?

Question

Sea

$$K_t(x)=\frac{1}{(4 \pi i t)^{\frac{n}{2}}}e^{i \frac{\lvert x \rvert^2}{4t}}\quad x \in \mathbb{R}^n,\ t \in \mathbb{R},\ t\ne 0.$$

Está claro que no se trata de un $L^1$ ou $L^2$ con respecto a la variable espacial $x$ . Sin embargo, el documento que estoy leyendo dice:

"Un cálculo directo muestra que $\hat{K}_t(\xi)=e^{-it \lvert \xi \rvert^2}.$ "

Este misterioso cálculo directo me deja perplejo. La transformada de Fourier debe tomarse en el sentido distribucional, esto lo tengo claro; sólo que no consigo averiguar cómo llevar el actual cálculo.

No busco necesariamente una respuesta totalmente rigurosa. Incluso una moralmente correcto (por citar a Willie Wong) pero no rigurosa respuesta está bien.

Answer 1

@Willie: Aquí está mi intento de hacer lo que usted sugirió. Gracias.

No es una gran pérdida suponer $n=1$ . Sea $\sigma$ sea un número complejo con parte real estrictamente positiva y $g(x)=e^{-\sigma x^2}$ . Nuestra tarea consiste en calcular

$$\hat{g}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty g(x)e^{-i x \xi}\, dx.$$

Para ello tomamos una derivada respecto a $\xi$ :

$$\frac{d \hat{g}}{d \xi}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} -i x e^{-\sigma x^2}e^{-i x \xi}\, dx = [\text{integrating by parts}] -\frac{\xi}{2 \sigma} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-(i \xi x + \sigma x^2)}\, dx;$$

(los términos límite de la integración por partes desaparecen debido a $\Re e(\sigma) > 0$ ) así que $\hat{g}$ está sujeta a la condición diferencial $\frac{d \hat{g}}{d \xi}(\xi)=-\frac{\xi}{2 \sigma}\hat{g}(\xi)$ . Calculamos

$$\hat{g}(0)=\int_{-\infty}^\infty e^{-\sigma x^2}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{\sigma}},$$

y deducir que $\hat{g}(\xi)=\sqrt{\frac{\pi}{\sigma}}e^{-\frac{\xi^2}{4 \sigma}}$ .

Esta última fórmula es válida si $\Re e(\sigma)=0$ . De hecho, si la secuencia $\sigma_p \to \sigma$ y $\Re e(\sigma_p) >0$ para todos $p\in \mathbb{N}$ entonces $e^{-i \sigma_p x} \to e^{-i \sigma x}$ y $\sqrt{\frac{\pi}{\sigma_p}}e^{-\frac{\xi^2}{4 \sigma_p}}\to \sqrt{\frac{\pi}{\sigma}}e^{-\frac{\xi^2}{4 \sigma}}$ en $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ . La afirmación se deduce ahora de la continuidad de la transformada de Fourier en $\mathcal{S}'(\mathbb{R})$ .