El factor de $1/2\pi$ es un artefacto de la normalización de la convención se utiliza para el impulso autoestados.
Para comenzar a ver cómo es esto, tengamos en cuenta que la elección de la normalización de un Dirac-ortogonal base continua determina completamente la forma de la resolución de la identidad. La escritura de un arbitrario del estado de $|\psi\rangle$ en un `continuo" de la base da
\begin{align}
|\psi\rangle = \int da'\,\psi(a')|a'\rangle,
\end{align}
y la aplicación de $\langle a'|$ a ambos lados da
\begin{align}
\langle a|\psi\rangle = \int da' \,\psi(a')\langle a|a'\rangle.
\end{align}
Ahora si esta base es de Dirac ortogonal con la normalización $K(a)$;
\begin{align}
\langle a |a'\rangle = K(a)\,\delta(a-a')
\end{align}
entonces nos encontramos con la $\langle a|\psi\rangle = K(a)\psi(a)$, lo que da
\begin{align}
|\psi\rangle = \int \frac{da'}{K(a)}\,\langle a'|\psi\rangle|a'\rangle
\end{align}
lo que implica
\begin{align}
\int \frac{da'}{K(a)} |a'\rangle\langle a'| = I.
\end{align}
Ahora se especializa a la mecánica cuántica, es el recuerdo de una convención estándar es establecer
\begin{align}
\langle q|q'\rangle = \delta (q-q'), \qquad \langle p|p'\rangle = 2\pi\delta(p-p') \tag{DefCon1}
\end{align}
y por lo tanto los comentarios de arriba, esto implica las siguientes resoluciones de la identidad:
\begin{align}
\int dq'\, |q'\rangle\langle q'| = I, \qquad \int \frac{dp'}{2\pi} \,|p'\rangle\langle p'| = I.
\end{align}
La motivación para la normalización de los convenios
Para intentar motivar a los convencionales normalizaciones de la posición y el impulso autoestados escrito anterior, supongamos que se adopten las siguientes normalizaciones:
\begin{align}
\langle q|q'\rangle = C(q)\,\delta(q-q'), \qquad \langle p|p'\rangle = K(p)\,\delta(p-p'),
\end{align}
para las funciones de $C(q)$$K(p)$. Deje $Q$ ser la posición del operador, y deje $P$ ser el impulso del operador. Recordemos que el canónica de la conmutación de la relación de $[Q,P] = iI$ puede ser utilizado para demostrar que la $e^{-iaP}$ es el generador de las traducciones, es decir, que $e^{iap}|q\rangle = |q+a\rangle$. De ello se desprende que $\langle p|q\rangle = \langle p|e^{-iqP}|0\rangle = e^{iqp}\langle p|0\rangle$. Si dejamos $\langle p|0\rangle=\phi(p)$ para algunos la función indeterminada $\phi$, entonces en resumen, hemos demostrado hasta ahora que
\begin{align}
\langle p|q\rangle= e^{iqp}\phi(p)
\end{align}
Si ahora consideramos la cantidad de $\langle q|\psi\rangle$, y si queremos insertar una resolución de la identidad de la integración de más de $p$ y el otro la integración de más de $q'$, entonces tenemos
\begin{align}
\langle q|\psi\rangle = \int dq'\left[\int \frac{dp}{2\pi}e^{-i(q-q')p}\frac{2\pi|\phi(p)|^2}{C(q')K(p)}\right] \langle q'|\psi\rangle
\end{align}
Ahora, para que esta ecuación sea verdadera, el término entre corchetes debe ser igual a $\delta(q-q')$, lo que significa que
\begin{align}
\frac{2\pi|\phi(p)|^2}{C(q')K(p)} = 1
\end{align}
Otra forma de decir esto es que la posición y el impulso de las representaciones deben estar relacionados por la transformada de Fourier. Como se puede ver, se puede fijar arbitrariamente $C$ $K$ para satisfacer esta condición, ya tenemos completa libertad para elegir a $\phi(p)$. La convencional de la elección que conduce a $(\text{DefCon1})$ es básicamente tan simple como usted puede conseguir debido a que dos de los grados de libertad, es decir,$C(q)$, e $\phi(p)$ se establece en 1, y esto corrige $K(p)$$2\pi$.
Adenda. Otros convenios en la literatura
Como Qmechanic señala en su comentario a continuación, es útil destacar que hay al menos otra convención común en la literatura que es tan simple como $(\text{DefCon1})$, y que es a elegir
\begin{align}
C(q) = 1, \qquad K(p) = 1, \qquad \phi(p) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\end{align}
que daría
\begin{align}
\langle q|q'\rangle = \delta (q-q'), \qquad \langle p|p'\rangle = \delta(p-p') , \qquad \langle p|q\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-ipq}\tag{DefCon2}
\end{align}
Este convenio es utilizado por Cohen-Tannoudji y Sakurai en su quantum textos. Por supuesto, en la práctica, siempre y cuando uno se aferra a una sola convención, nadie es detener su elección de cualquier convenio que ella elige, excepto, posiblemente, un asesor de investigación o física de los dioses.
