La existencia de un polinomio de grado $n$ $m$ bienes raíces cuando se $m\equiv n \pmod 2$.

Question

Me encontré con el siguiente hecho:

Deje $m$ $n$ ser números naturales tales que $n\geqslant m$$m\equiv n \pmod 2$. Entonces, existe un polinomio irreducible $f\in\mathbb{Q}\left[X\right]$ grado $n$ tal que $f$ tiene exactamente $m$ bienes raíces.

Supongo que es bien conocido por algebraists. Por desgracia, no puedo encontrar la prueba de esto en cualquier lugar y no sé cómo demostrarlo. ¿Podría usted ayudarme?

Answer 1

Probablemente no es una totalidad de primaria prueba de esta afirmación (por ejemplo, la demostración explícita de un polinomio por un determinado$m$$n$). Sin embargo, es fácil proceso de la heurística de la prueba de por qué el resultado es true y, a continuación, no todos los que mucho más difícil dar un procedimiento para escribir un explícitamente.

La heurística es bastante sencilla: Elegir cualquier polinomio en $\mathbb{Q}[x]$ con el número deseado de bienes y raíces complejas (que por supuesto es trivial) y, a continuación, perturbar los coeficientes por los pequeños racional cantidades hasta que la tierra en un polinomio irreducible. Desde las raíces de un polinomio dependen continuamente en sus coeficientes, existe un $\varepsilon$ lo suficientemente pequeño tal que si se perturba cada coeficiente a la mayoría de los $\varepsilon$, el número de la real e imaginaria de las raíces del polinomio permanecen sin cambios por ejemplo de una perturbación.

David Speyer comentario rellena los detalles del resto de la construcción muy bien: Dado $m$ $n$ como en el anterior, elegir un polinomio $h$, con el número correcto de bienes y raíces complejas, y deje $\varepsilon$ ser como el anterior. Elegir un polinomio irreducible $g$ grado $n$ más (dicen) $\mathbb{F}_2$ (la existencia de una $g$ no es difícil, pero no es terriblemente obvio). El objetivo es perturbar los coeficientes de $h$ por una pequeña cantidad para obtener un nuevo polinomio que se reduce a $g$ mod 2, garantizando su irreductibilidad. Esto lo logramos de la siguiente manera: Vamos a $N=\lceil\frac{2}{\varepsilon}\rceil$, y deje $f$ ser el polinomio obtenido por el redondeo de cada coeficiente de $Nh$ al entero más cercano en el que se acuerda mod 2 con el correspondiente coeficiente de $g$. A continuación, $f$ (o $f/N$) es irreducible y ha sido perturbado por una pequeña cantidad suficiente de $h$ para mantener el número adecuado de bienes y raíces complejas.

Como ejemplo, tome $n=7$$m=5$. Podemos elegir $$ g=x^7+x+1 $$ y $$ h=x(x^2-1)(x^2-4)(x^2+1)=x^7-4x^5-x^3+4x. $$ Para ser seguro y conveniente, tome $\varepsilon=.02$ y, por tanto,$N=100$. Ahora $$ 100h=100x^7-400x^5-100x^3+400x $$ todavía ha $n=7$$m=5$, como lo hace el muy cerca del polinomio $$ \boxed{f:=101x^7-400x^5-100x^3+399x+1.} $$ Desde $f$ reduce a $g$ mod 2, $f$ es irreductible, y que tiene derecho los valores de $m$$n$, como se desee.

Answer 2

La paridad modulo $2$ proviene del hecho de que las raíces complejas de polinomios con coeficientes reales se producen en pares. Si elegimos $m$ racional raíces y $n-m$ complex (real o no racionales) las raíces, debemos ser capaces de construir un polinomio. Por ejemplo, $f(x)\in\mathbb{Z}[x]$ $$ f(x)=\prod_{k=0}^{n-1}(x-a_k) \qquad \text{para} \qquad a_k = \left\{\matriz{ k & 0\le k<m \\\\ (-1)^k\bigg\lfloor1+\frac{k-m}{2}\bigg\rfloor \quad& m\le k<n }\right.$$ Sin embargo, esto no es irreducible. Tenemos que jugar un poco más para conseguir un irreductible $f$.

He aquí algunos ejemplos más: $$ \matriz{ f(x)&\text{grado }n&m~(n\text{ impar})&m~(n\text{ par})&\\ x^n-1&\quad n\quad&1&2&\text{reducible }n>1!\\ x^n-2&\quad n\quad&1&2\\ \Phi_k(x)&\quad \phi(k)\quad&\delta_{1}&\delta_{2k}&\\ x^2-x-1&2&-&2\\ x^n-x-1 + n&1&2&\text{para }n>1\\ } $$

¿Qué acerca de la toma de la interpolación de Lagrange polinomio para un "zig-zag" conjunto de puntos de datos, tales como $$ (x_k,~y_k)=\left(h(k),~(-1)^k\right) \qquad \text{para} \qquad 1\le k\le n $$ para algunos el aumento de la función racional $h$ que garantiza que no habrá racional raíces de $f$? Esto ha $n$ bienes raíces irracionales.

Por último, aquí es un candidato para lo que usted necesita: $$ f(x)=x^{n-m}\prod_{k=1}^{m}(x+k)-\frac1{(2n)!^n} $$ Uno también podría perturbar una interpolación de Lagrange polinomio como el anterior, pero con $m+1$ puntos de datos (con $m$ cruces de la $x$-eje) y elegir una perturbación que no sólo los pequeños, como el intento de arriba, pero también, quizás, la utilización de un único primer en algún lugar para garantizar la irreductibilidad de Eisenstein criterio. Otro candidato: $$ f\left(x\right)=\frac1{N!}+(2x)^{n-m}\prod_{k=1}^{m}\left(1-\frac{4x^2}{p_k}\right) $$ donde $p_k$ $k$th impar prime. Este es irreductible para $N\in\mathbb{N}$ y tiene las propiedades deseadas para $N$ lo suficientemente grande.

Answer 3

Supongamos $f = \sum_{j=0}^n c_j X^j \in {\mathbb Z}[X]$ con grado de $n$, habiendo $m$ distintas raíces reales y $n-m$ distintos no real raíces complejas. Deje $C$ ser un conjunto que consta de distintos pequeños círculos alrededor de cada raíz de $f$. El argumento de principio, si $g \in {\mathbb Q}[X]$ grado $n$$\max_{z \in C} |g(z)| < \min_{z \in C} |f(z)|$, $f+g$ tiene exactamente una raíz en cada uno de los círculos, y, en particular, tiene exactamente $m$ bienes raíces. En particular, $g = (X^n + p)/p^2$ donde $p$ es suficientemente grande la primera, y se nota que $f+g$ es irreducible en a ${\mathbb Q}[X]$ por el criterio de Eisenstein.

Answer 4

Si usted no quiere una fórmula específica para el polinomio, entonces es fácil ver que los ejemplos pueden ser construidos. El principio básico es muy simple:

• las raíces (para irreductible $f$) son transversales intersecciones de la gráfica de $f(x)$ $x$ eje y está determinado por lo $f$ se ve como en el real de la topología. Uno puede dibujar (para cualquier precisión deseada) en una imagen de $f$ incluyendo la ubicación aproximada de las raíces, la ubicación de los extremos, aproximado pendiente y curvatura en varios intervalos, u otras características geométricas y esta imagen geométrica es equivalente a las desigualdades de la definición de un conjunto abierto (en el real topología) en el espacio de los coeficientes.

• irreductibilidad es un número teórico de fenómeno y puede ser ejecutado por $p$-ádico condiciones. El criterio de Eisenstein en un primer hará, por ejemplo.

• el p-ádico y real las métricas son lo suficientemente independientes el uno del otro que ambas condiciones pueden ser satisfechas. En el (número real topología) abrir el conjunto de coeficientes de la definición de las condiciones geométricas, habrá un número infinito de puntos racionales satisying el p-ádico condiciones.