Solución equivocada para $\int \frac{1 - e^x}{e^x}\, dx$

Question

La solución libro le da a este como una respuesta:

$$\int \frac{1-e^x}{e^x}dx = \int \frac{1}{e^x}-\frac{e^x}{e^x}dx = -e^{-x} + C$$

Yo creo que sería resuelto de esta manera:

$$\int \frac{1-e^x}{e^x} dx = \int \frac{1}{e^x} -1 \; dx = -e^{-x}-x + C$$

Answer 1

Sí, su enfoque es correcto.

Pero, recuerde, usted siempre puede comprobar su respuesta a la hora de encontrar una antiderivada:

Tenemos: $$ {d\más de dx} (-e^{-x}+C)=e^{-x}\ne e^{-x}-1={1-e^x\a través de e^x}; $$ así que el libro es malo.

Sin embargo:

$$ {d\más de dx} (-e^{-x}-x+C)=e^{-x}-1 = {1-e^x\a través de e^x}; $$ así que, estás en lo correcto.

Answer 2

La mejor manera de ver si el botón derecho en la solución de su integral es derivar ambos lados.

Como podemos ver, los libros de la respuesta:

$$\frac{{d}(-e^{-x}+C)}{dx}\neq \frac{ d\{{\int \frac{1}{e^x}-\frac{e^x}{e^x}dx}\}}{dx} $$