$\{x_n\}$ ser un almacén de secuencia de número real que tenemos que mostrar

Question

Deje $\{x_n\}$ ser un almacén de la secuencia de los números reales. Debemos demostrar que existe un número real $\alpha$ y enteros positivos $n_1,n_2,\dots$ tal que $n_1<n_2<\dots$$\sum_{k}|x_{n_k}-\alpha|<\infty$, por favor sugerencia!

Answer 1

Usted puede utilizar Bolzano Weirstrass teorema para encontrar un monótonamente creciente/decreciente sunsequence de la secuencia original y la secuencia está delimitado por lo que esta larga deben converger.

Ahora llamar a esta larga que es convergente como $\{x_{n_{k}}\}$ y llame a $y_k=|x_{n_{k}}-\alpha|$

Como este es convergente y la disminución de $\exists \{k_i|i\in N\ , k_i<k_{i+1}\}$ tal que $y_{k_{i}}<1/2^i$(en Términos de cualquier convergencia de la serie va a hacer)(Mediante la convergencia de $y_k \to 0$).

Hemos terminado ,como $1/2^i $ converge por lo $\sum y_{k_{i}}$ también converge.

Answer 2

Por Bolzano-Weierstrass existe un límite de punto de $\alpha$. A continuación, para cada una de las $k$ seleccione $n_k>n_{k-1}$$|\alpha-x_{n_k}|<2^{-k}$.