El determinante de la función es el único que satisfagan las condiciones

Question

Cómo puedo probar que el determinante de la función que cumplen las siguientes propiedades es único:

$\det(I)=1$ donde $I$ es la matriz identidad, la función de $\det(A)$ es lineal en las filas de la matriz y si dos filas adyacentes de una matriz de $A$ son iguales,$\det A=0$. Esta es la forma en Artin ha declarado las propiedades.Me parece Artin del primer capítulo de dificultades y agradecería un poco de ayuda en esto.

Answer 1

Un hecho básico acerca de las funciones lineales es que son completamente determinada por sus valores en una base del espacio vectorial. Para un multi-función lineal de este medio (la repetición de esta declaración para cada argumento) que están determinados por sus valores donde cada argumento se ejecuta de forma independiente a través de una base del espacio vectorial. Para una función de una matriz que es lineal en las filas, significa que la función está determinada por los valores que toma para que las matrices para que cada fila tiene una sola entrada de $1$ y todas las demás entradas de $0$. Concretamente, si una función está escrito $f(v_1,\ldots,v_n)$, los argumentos que se las filas de una matriz de $A$, luego por el multi-linealidad $$ f(A)=\sum_{j_1,j_2,\ldots,j_n=1}^n a_{1,j_1}a_{j_2,2}\ldots a_{n,j_n} \, f(e_{j_1},e_{j_2},\ldots,e_{j_n}), $$ donde $e_k$ $k$- th estándar de la base de vectores visto como una fila.

Ahora debemos tomar en cuenta que el $f$ se desvanece cuando dos filas adyacentes son iguales. Esto implica directamente que en el anterior suma uno puede caer a cualquiera de los términos para los que $j_i=j_{i+1}$ algunos $i$. Pero también, por una norma de "polarización" argumento (es decir, que $g(x+y,x+y)=g(x,x)+g(x,y)+g(y,x)+g(y+y)$ para bilineal $g$, lo $g(x,y)=-g(y,x)$ si, además de los $g$ se desvanece en igualdad de argumentos), $f$ cambia de signo cada vez que nos de intercambio de dos filas adyacentes. Así que si $j_i>j_{i+1}$ algunos $i$, luego tenemos $$ f(e_{j_1},e_{j_2},\ldots,e_{j_n}) =-f(e_{j_1},e_{j_2},\ldots,e_{j_{i+1}},e_{j_i},\ldots,e_{j_n}), $$ y la secuencia de los índices de $j_1,j_2,\ldots,j_{i-1},j_{i+1},j_i,j_{i+2},\ldots,j_n$ a la derecha, en la que $j_i$ $j_{i+1}$ han sido intercambiados, tiene una menor inversión de la secuencia de la izquierda (una inversión en una secuencia que es un par de posiciones, donde el término en la posición a la izquierda es estrictamente mayor que el que está en la posición correcta). (Usted puede notar que estoy re-haciendo una prueba de que cualquier permutación es una composición de las transposiciones; también se podría utilizar ese hecho para demostrar que cualquier permutación de los argumentos de $f$ afecta el valor por el signo de la permutación.)

Ahora para cualquier secuencia $(j_1,j_2,\ldots,j_n)$ otros de $(1,2,\ldots,n)$, nos encontramos con que $f(e_{j_1},e_{j_2},\ldots,e_{j_n})$ es cero, o que no está determinado por un valor similar de $f$, pero en una secuencia de índices estrictamente con menos inversiones. De ello se deduce (por inducción sobre el número de inversiones) que tales términos son determinados por $f(e_1,\ldots,e_n)$ solo. Finalmente fue dado de que $f(e_1,\ldots,e_n)=1$, lo $f$ está totalmente determinado.

Como un bono, este argumento da la explícita Leibniz fórmula para el factor determinante, una vez que compruebe que $f(e_{\pi_1},e_{\pi_2},\ldots,e_{\pi_n})=\operatorname{sg}(\pi)$ para cualquier permutación $\pi$ y $f(e_{j_1},e_{j_2},\ldots,e_{j_n})=0$ por el no-permutación $(j_1,j_2,\ldots,j_n)$.

Answer 2

Una forma alternativa es la eliminación Gaussiana: para un determinado $n\times n$ matriz $A$ filas $r_1,..,r_n$, los pasos siguientes se pueden utilizar, con el fin de llegar a la matriz identidad, o uno con un cero de la fila (por la linealidad, si $A$ tiene un cero de la fila, el 'Artinian determinante" tiene que ser cero).

1. Añadir un escalar múltiplo de una fila $r_j$ a otra fila $r_i$, es decir: $i\ne j$ y $$r_i':= r_i+\lambda r_j$$
2. Multiplicar una fila por un escalar distinto de cero, es decir: $\lambda\ne 0$ y $$r_i':=\lambda\cdot r_i$$
3. Cambio 2 filas (también puede ser obtenido por 1. y 2.)

Supongamos que tenemos dos 'Artinian determinantes': $D$$D'$. Mediante el mencionado hecho de que toda matriz puede ser transformado a la identidad o con una fila cero, tendremos $D=D'$, debido a que 1. mantiene tanto en $D$ $D'$ (por qué?), 2. multiplica ambos $D$$D'$$\lambda$, y 3. por $-1$.