La probabilidad condicional es indefinido, aunque parece ser definido de forma intuitiva

Question

Sabemos que la probabilidad condicional $P(A | B)$ es indefinida cuando $P(B) = 0$. Pero esto no parece ser cierto para mí siempre.

Consideran que la probabilidad de elegir un número real entre el $r$ tal que $0 \leq r \lt 1$ donde cualquier número real en $[0, 1)$ tiene la misma probabilidad de ser elegido.

Por lo tanto, el espacio muestral $S = [0, 1)$. Deje $A = \{0.1\}$$B = \{0.1, 0.2\}$. Por lo tanto, $P(A) = P(B) = 0$.

Ahora, hablando de la intuición, si se nos da ese $r$ es $0.1$ o $0.2$, se puede concluir que la probabilidad de que $r = 0.1$$0.5$. Por lo tanto, parece como $P(A | B) = 0.5$. Pero esto contradice el hecho de que desde $P(B) = 0$, $P(A|B)$ no está definido.

Donde estoy cometiendo un error?

Answer 1

Como ustedes saben, cuando $\mathrm P(B)\ne0$, $\mathrm P(A\mid B)=\mathrm P(A\cap B)/\mathrm P(B)$. El problema en su contexto, es que $\mathrm P(B)=0$, e incluso, como usted dice, que $\mathrm P(A)=0$. Una forma de definir, no obstante, una cierta cantidad $\mathrm P^*(A\mid B)$ similar a $\mathrm P(A\mid B)$ es para reemplazar a $A$ $B$ por algunos de los conjuntos de $A_t$ $B_t$ cuyas probabilidades son positivos para todos los positivos $t$ y que, en un sentido, $A_t\to A$ $B_t\to B$ al $t\to0$. Entonces uno podría calcular $\mathrm P(A_t\mid B_t)$ por cada positivo $t$ en la forma habitual y ver si esta cantidad tiene un límite cuando se $t\to0$. Si es así, el límite podría ser elegido como $\mathrm P^*(A\mid B)$.

En el caso de $A=\{a\}$$B=\{a,b\}$$a$$b$$(0,1)$, se puede considerar $A_t=A+[-t,t]$$B_t=B+[-t,t]$, $A_t=[a-t,a+t]$$B_t=[a-t,a+t]\cup[b-t,b+t]$.

Suponga que $t$ es lo suficientemente pequeño. A continuación, $[a-t,a+t]\subset[0,1]$ por lo tanto $\mathrm P(A_t)=2t$, e $[a-t,a+t]\cup[b-t,b+t]\subset[0,1]$$[a-t,a+t]\cap[b-t,b+t]=\varnothing$, por lo tanto $\mathrm P(B_t)=4t$. Por lo tanto $\mathrm P(A_t\mid B_t)=\frac12$ por cada $t$ bastante pequeño, lo que sugiere, de hecho, que $\mathrm P^*(A\mid B)=\frac12$ es una opción razonable.

Tenga en cuenta que este procedimiento es relativamente robusto desde $[-t,t]$ podría ser sustituido por cualquier barrio de $0$ reducción a $\{0\}$ al $t\to0$, por ejemplo,$[-2t,5t+t^4]$, sin cambiar el resultado final.

Más generalmente, se asume que el$A=\{a_1\}$$B=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}\subset(0,1)$, $\mathrm P$ tiene una densidad de $f$ y $f$ es continua en a $a_k$ por cada $1\leqslant k\leqslant n$. Uno ve que el razonamiento anterior sugiere que elija $\mathrm P^*(A\mid B)=\frac{f(a_1)}{f(a_1)+\cdots+f(a_n)}$. En efecto, esto es equivalente a la sustitución de la inexistente probabilidad condicional $\mathrm P(\ \mid B)$ por el discretas de probabilidad de medida $\mathrm P^*(\ \mid B)=\mu_B$ definido por $\mu_B(\{a_k\})=\frac{f(a_k)}{f(a_1)+\cdots+f(a_n)}$ por cada $k$ $\mu_B(C)=0$ si $B\cap C=\varnothing$.

Answer 2

Primero de todos, la probabilidad condicional de la $$ P_B(A) = P(A | B) $$ se supone para ser una probabilidad. Es muy fácil, si $B$ es un conjunto finito con $P(B) = 0$, simplemente IMPONER que la probabilidad condicional de a $P_B$ se distribuye de forma homogénea. Desde su original $P$ tiene una distribución uniforme en algunas sentido (qué sentido?).

Pero, ¿qué pasa si $B = \mathbb{Q} \cap S$? Qué sería de $P_B$? Observe que $B = \{b_1, b_2, \dotsc\}$ es contable. Así que, si es uniformemente distribuidos, $$ P_B(b_j) = P_B(b_1) \quad\text{ y }\quad P_B(B) = \sum_j P_B(b_j). $$ Esto implica que los $P(S | B) = 0$ o $P(S | B) = \infty$. Que NO es una probabilidad.

Si todo lo que quiero es que $P(A \cap B) = P(A | B) P(B)$, entonces usted puede definir $P(A | B)$ la forma en que usted piensa que se adapte mejor --- o simplemente dejarlo indefinido --- siempre que $P(B) = 0$.

Sin embargo, imaginar que $S = [0,1] \times [0,1]$, y considerar la medida de Lebesgue $\lambda \times \lambda$, donde $\lambda$ es la medida de Lebesgue sobre $[0,1]$. Entonces, se podría tener sentido para definir las probabilidades condicionales para la "rebanada" $B_x = \{x\} \times [0,1]$, donde $P(A | B_x)$ sería la longitud de $A \cap B$. De la misma manera que usted acaba de imponer "una distribución uniforme" en el set $\{0.1, 0.2\}$, Yo soy la imposición de "una distribución uniforme" en la $B_x$. Una cosa buena es que $$ P(a) = \int P(A | B_x) dx. $$