Artinian anillos son perfectos

Question

Definición. Un anillo se llama perfecto si cada plana módulo es proyectiva.

Hay una manera simple de probar que Artinian anillo es perfecto (en la conmutativa caso)?

Answer 1

El caso local se demuestra aquí, Lema 10.97.2, y luego extender el resultado a la no-locales en caso de que por el uso que un artinian anillo es isomorfo a un producto finito de artinian local anillos y un módulo de $M$ sobre un producto finito de anillos de $R_1\times\cdots\times R_n$ tiene la forma $M_1\times\cdots\times M_n$ $M_i$ $R_i$- módulo.