Encontrar todas las funciones $f$ satisgying la $3$ integrales definidas

Question

Deje $a \in [0,1].$ Encontrar todas las funciones $f:[0,1] \to [0,\infty)$ tal que $$\int_{0}^{1}f(x)dx=1$$$$\int_{0}^{1}xf(x)dx=a$$ and $$\int_{0}^{1}x^2f(x)dx=a^2$$ estoy teniendo problemas sobre cómo empezar. Por favor, darle algunos consejos. Gracias.

Answer 1

Hölder la desigualdad implica que para las funciones de $g(x)$$h(x)$, $$ \left(\int_0^1 g(x)h(x)\,dx\right)^2\leq \int_0^1 g(x)^2dx \cdot \int_0^1 h(x)^2 dx, $$ con igualdad si y sólo si $g(x)$ es un escalar varios de $h(x)$.

Sugerencia: En su situación, tome $g(x)=\sqrt{f(x)}$$h(x)=x\sqrt{f(x)}$.

Answer 2

En la modificación de la pregunta, tenemos $f(x) \geq 0$ todos los $x \in [0,1]$. Entonces podemos pensar que de $f$ como una función de densidad de probabilidad. Las restricciones dadas decir que la varianza de esta distribución es cero (i.e $E[X^2]=E[X]^2$).

Así, la distribución se concentra en un valor, que es $a$.

Esto implica que $F(x)=1$ si $x \geq a$ $F(x)=0$ lo contrario, donde $F(x)=\int_{0}^{1}f(x)dx$.

Sin embargo no hay ninguna función $f$ para que lo anterior es cierto, descartando así las soluciones en el caso de que $f$ es no negativo.