Lo que los fenómenos físicos son modelados por la ecuación de Chebyshev?

Question

Lo que los fenómenos físicos son modelados por Chebyshev ecuación? La ecuación es la siguiente

$$(1-x^2) {d^2 y \over d x^2} - x {d y \over d x} + p^2 y ~=~ 0 .$$

No pude encontrar en Wikipedia o en Google (al menos rápidamente). La respuesta debería ser simple para cualquier persona que lo sabe. Creo que la respuesta a esa pregunta debe ser rápidamente disponible, pero no lo es.

Answer 1

Los polinomios de Legendre surgen de forma natural a la hora de resolver la ecuación de Poisson para un sistema con simetría esférica (como el átomo de hidrógeno).

Las funciones de Bessel surgen de forma natural a la hora de resolver la ecuación de Poisson para un sistema con simetría cilíndrica.

Esencialmente de la misma manera, la ecuación de Chebyshev y sus soluciones surgen cuando se considera un problema con una elíptica sistema de coordenadas.

Recuerdo un comentario (tal vez en Arfken & Weber?) que de todos los nombres de "funciones especiales" surgir de la solución de la ecuación de Poisson en diferentes sistemas de coordenadas. (Se me olvida que uno es toroidal de coordenadas.)

Answer 2

Dpesar de la similitud de Chebyshev de la ecuación con la ecuación de Legendre, que no se produce a menudo en la física o la ingeniería, sin embargo, las soluciones de Chebyshev de la ecuación son de mucha importancia en temas de análisis numérico, tales como la solución de ecuaciones diferenciales parciales, suavizado de datos y otros. Mientras que, por otro lado, su estrecho colaborador de la ecuación de Legendre se produce muy a menudo en áreas tales como la electrodinámica cuántica y la mecánica, entre otros.

Sin embargo, si consideramos los polinomios de Chebyshev, que son de gran uso en el caso de las ciencias físicas.La Orr-Sommerfeld ecuación se resuelve numéricamente utilizando las expansiones en los polinomios de Chebyshev.A continuación, una vez más,estos polinomios encontrar un amplio uso en el control óptimo de las variables de tiempo de los sistemas lineales.Estas son algunas de las principales aplicaciones. Es más, yo soy la vinculación de la búsqueda de Google de la página de tu interés, si te gusta.

Answer 3

Los polinomios de Chebyshev se utilizan también en las observaciones de la oscilación de los fenómenos, un ejemplo notable es el de los sistemas de dos osciladores independientes que grafique las curvas de Lissajous. Los polinomios de Chebyshev surgen naturalmente cuando se consideran las curvas de Lissajous con $a=1$$b=N$, que resultan ser los polinomios de Chebyshev de la primera clase de grado N.

Cualquiera que haya jugado con un osciloscopio sabe que si la relación de frecuencias de algunas de las corrientes alternas de pasar por el osciloscopio es un número natural (es decir,${\omega}_{2}=N{\omega}_{1}$) es consciente de que el osciloscopio se traza una línea, una parábola etc. (si las fases están alineados, o de lo contrario la curva se convierte en un general de la curva de Lissajous), la primera de dos polinomios.