Demostrar que $\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}$ es racional utilizando el teorema de los ceros racionales

Question

Lo que he hecho hasta ahora:

Dejemos que $$r = \sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}.$$

Así, $$r^2 = 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\sqrt{4+2\sqrt{3}}+7$$

y $$r^4=52\sqrt{3}-28\sqrt{3}\sqrt{4+2\sqrt{3}}-24\sqrt{4+2\sqrt{3}}+109.$$

Lo hice porque en un ejemplo similar en clase, relacionamos $r^2$ y $r^4$ para encontrar un polinomio tal que $mr^4+nr^2 = 0$ para algunos enteros $m,n$ . Sin embargo, no encuentro esa relación aquí. ¿Estoy haciendo lo correcto o hay otro enfoque para este tipo de problemas?

Answer 1

Dejemos que $\displaystyle N=\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}$

$=\sqrt{{(\sqrt{3})}^2+1^2+2\cdot\sqrt{3}\cdot1}-\sqrt{3}$

$=(\sqrt{3}+1-\sqrt{3})$

$=\boxed1$

Aliter: Si quieres usar polinomios, puedes ver que

$\displaystyle (N+\sqrt{3})^2=4+2\sqrt{3}$

$\implies N^2+2\sqrt{3}\cdot N + 3=4+2\sqrt{3}$

$\implies (N^2-1)=2\sqrt{3}\cdot(1-N)$

$\implies N=-2\sqrt{3}-1$

o

$N=1$

Pero como $N>0$ ,

$\implies N=\boxed1$

Answer 2

¿existe otro enfoque para este tipo de problemas?

Desde $$4=1+3,3=1\times 3$$ podemos tener $$4+2\sqrt 3=1+3+2\sqrt{1\times 3}=(1+\sqrt 3)^2$$

Answer 3

SUGERENCIA: utilice ese $$4+2\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})^2$$

Answer 4

Desde $r = \sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{3}$ obtenemos $r+\sqrt{3}=\sqrt{4+2\sqrt{3}}$ y, cuadrando ambos lados, $$ r^2+2r\sqrt{3}+3=4+2\sqrt{3} $$ y así $$ r^2-1=2(1-r)\sqrt{3} $$ Otra vez la plaza: $$ r^4-2r^2+1=12-24r+12r^2 $$ así que $$ r^4-14r^2+24r-11=0 $$ La prueba de la raíz racional sólo permite $1$ , $-1$ , $11$ y $-11$ como raíces. Como $1$ es claramente una raíz tenemos $$ (r-1)(r^3+r^2-13r+11)=0 $$ y $1$ es una raíz también del segundo factor: $$ (r-1)^2(r^2+2r-11)=0 $$ Las raíces del segundo factor son $$ -1+2\sqrt{3},\qquad -1-2\sqrt{3} $$ Desde $r>0$ Sólo tenemos dos posibilidades: $r=1$ o $r=2\sqrt{3}-1$ . La segunda posibilidad da $$ \sqrt{4+2\sqrt{3}}=3\sqrt{3}-1 $$ Si elevamos esto al cuadrado, obtenemos $$ 4+2\sqrt{3}=28-6\sqrt{3} $$ o $$ 24=8\sqrt{3} $$ lo cual es absurdo. Así que sólo nos queda la posibilidad de que $r=1$ .

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Más fácil: $4+2\sqrt{3}=3+2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3}+1)^2$ .

Alternativamente, desde $r^2-1=2(1-r)\sqrt{3}$ deducimos $r=1$ o $$ r+1=-2\sqrt{3} $$ eso es absurdo, porque $r>0$ .

Answer 5

En cuanto a tu método, creo que lo primero que haría es reescribirlo como $$r + \sqrt{3} = \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}.$$ Si cuadras ambos lados, $$r^2 + 3 + 2\sqrt{3}r = 4 + 2\sqrt{3}.$$ Aislamiento $\sqrt{3}$ , $$2\sqrt{3}(r - 1) = 1 - r^2.$$ Cuadrando de nuevo, $$12(r-1)^2 = r^4 - 2r^2 + 1.$$ Ampliación y reordenación, $$(r-1)^2\left(r^2+2r-11\right)=r^4 - 14r^2 + 24r - 11 = 0.$$ Por lo tanto, si $r$ es racional, entonces $r = \pm 1, \pm 11$ lo que reduce las cosas. La única raíz racional de este polinomio es $1$ , lo que lo reduce de nuevo. Así, este método nos dice que sólo tenemos que verificar que $r$ es o no es $1$ (es $1$ ), entonces sabremos definitivamente si es o no irracional.