Grupo de cohomología de grupos diedro

Question

Si $m$ es impar, el grupo cohomology de la diedro grupo $D_m$ orden $2m$ está dado por $$H^n(D_m;\mathbb{Z}) = \begin{cases} \mathbb{Z} & n = 0 \\ \mathbb{Z}/(2m) & n \equiv 0 \bmod 4, ~ n > 0 \\ \mathbb{Z}/2 & n \equiv 2 \bmod 4 \\ 0 & n \text{ odd} \end{cases}$$ Esta es una buena aplicación de la Lyndon-Hochschild-Serre espectral de la secuencia. El cálculo utiliza la asunción, que $m$ es impar, de una forma esencial. Si $m$ es incluso, varias complicaciones que surgirán ... por lo tanto mi pregunta es:

Pregunta. ¿Qué es el grupo cohomology de $D_m$ incluso $m$?

He encontrado aquí el grupo cohomology de $D_4$, que ya se ve bastante "salvaje" en comparación con el extraño caso.

Answer 1

Este puede ser encontrado en la prueba del Teorema 5.2 de la siguiente ponencia:

Handel, David. "En los productos en el cohomology de los diedros de los grupos". Tohoku Matemática Diario, Segundo de la Serie 45, no. 1 (1993): 13-42.

En particular, para $m$ a y $n>0$, tenemos: $$ H^n(D_m;\mathbb{Z}) \;=\; \begin{cases} (\mathbb{Z}/2)^{(n-1)/2} & \text{if }n\equiv 1\pmod 4 \\ (\mathbb{Z}/2)^{(n+2)/2} & \text{if }n\equiv 2\pmod 4 \\ (\mathbb{Z}/2)^{(n-1)/2} & \text{if }n\equiv 3\pmod 4 \\ (\mathbb{Z}/m) \oplus (\mathbb{Z}/2)^{n/2} & \text{if }n\equiv 0\pmod 4 \end{casos} $$

El citado documento también se ofrece una presentación de la cohomology anillo. Es $$ H^*(D_m;\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}[a_2, b_2, c_3,d_4]/I $$ donde $I$ es el ideal generado por $2a_2$, $2b_2$, $2c_3$, $md_4$, $(b_2)^2 + a_2b_2 + (m^2/4)d_4$, y $(c_3)^2 + a_2d_4$. (Aquí los subíndices denotan el grado, por ejemplo,$d_4 \in H^4(D_m,\mathbb{Z})$.)