¿Existe una secuencia $a_n$ que consiste de cada número natural y cada $N$, $\sum\limits_{k=1}^N a_k$ es divisible por $N$?
Respuesta
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Sí.
Empezar con $3,1$.
Ahora, supongamos que usted ya ha encontrado la primera $2k$ números de la secuencia.
Poner el menor número natural que no ha sido utilizado en lugar de $2k+2$ y, a continuación, encontrar un número que tiene el derecho de descanso modulo $(2k+1)(2k+2)$ en lugar de $2k+1$, de modo que tanto la suma de hasta $a_{2k+1}$ $a_{2k+2}$ tiene el derecho de divisibilidad propiedades.
La primera acción se asegura de que todos los números naturales se utilizan con el tiempo. La segunda asegura que la divisibilidad se cumplan las condiciones y se utiliza el hecho de que los números enteros consecutivos son relativamente primos.
La anterior construcción comienza con:
3,1,14,2,30,4
Editado para añadir: La condición de la primera $2k+1$ números le dice que $a_{2k+1}$ tiene un cierto resto modulo $2k+1$, en el primer $2k+2$ números de cuenta de que tiene un cierto reposo modulo $2k+2$. Por el teorema del resto Chino, puede combinar estas condiciones a un cierto reposo modulo $(2k+1)(2k+2)$. Ya que hay una infinidad de números que tienen un cierto reposo y que sólo han utilizado un número finito en el momento, usted puede encontrar un número que funciona.
Ejemplo de $a_3=x$:
Ya he solucionado $3,1,x,2$.
Así que 3 tiene que dividir $x+4$ y 4 ha de dividir a la $x+6$.
Por lo tanto, $x$ resto 2 módulo 3 y resto 2 modulo 4, que equivale a 2 modulo 12. El primer número, el 2, ya ha sido tomado, así que me tome el segundo número $2+12=14$.
