¿es una ecuación de onda?

Question

Motivación: si nos dan

$$ u_x=v_y \qquad v_x=u_y $$

entonces se deduce $u_{xx}=u_{yy}$ y $v_{xx}=v_{yy}$ . Si pensamos en $x$ como tiempo, entonces se trata de ecuaciones de onda unidimensionales para $u$ y $v$ .

Pregunta: Supongamos que $u,v,w$ son funciones que dependen de $x,y,z$ tal que $$ u_x=v_y=w_z, \qquad \& \qquad v_x=w_y=u_z, \qquad \& \qquad w_x=u_y=v_z. $$ ¿Implican las condiciones anteriores ecuaciones de onda para $u,v,w$ ?

Algo que he leído parece implicar que estas ecuaciones producen una ecuación de onda tridimensional. Pero esto parece erróneo ya que una de las variables que cuenta como tiempo sólo deja dos variables espaciales independientes. Por ejemplo, $u_{xx}=u_{yy}+u_{zz}$ es una ecuación de onda bidimensional. Pero, tal vez la tridimensionalidad se refiere a las variables dependientes como un triple $(u,v,w)$ . Tal vez exista la misma ecuación de onda para cada componente en $(u,v,w)$ ? No insisto en que $x$ sea el "tiempo" en la ecuación, no puedo juzgar por el ejemplo motivador si $x$ (o $y$ ) desempeña un papel especial.

Gracias de antemano por sus opiniones.

Answer 1

Estas ecuaciones implican

$$ u_{xx} = v_{zz} = w_{yy} (= u_{yz} = v_{xy} = w_{xz}) $$ $$ u_{yy} = v_{xx} = w_{zz} (= u_{xz} = v_{yz} = w_{xy}) $$ $$ u_{zz} = v_{yy} = w_{xx} (= u_{xy} = v_{xz} = w_{yz}) $$

vamos a cambiar $x$ a $t$ para ser sugerente. Podemos escribir (por ejemplo) $$ u_{tt} + v_{tt} + w_{tt} = (w_{yy} + u_{yy} + v_{yy}) $$

$$ (u + v + w)_{tt} = (u + v + w)_{yy} $$ o, alternativamente, $$ (u + v + w)_{tt} = (u + v + w)_{zz} $$ o incluso $$ (u + v + w)_{tt} = \frac{1}{2}((u + v + w)_{yy} + (u + v + w)_{zz}) $$ Así que puedes obtener ecuaciones de onda para $\widetilde{u} = u + v + w$ de algunas maneras diferentes, aunque no es realmente como la ecuación de onda 2D estándar, parece, más como una ecuación 1D extendida al plano a través de una condición de simetría.