Cómo encontrar la fracción continua de pi

Question

Siempre me han sorprendido las fracciones continuas para $\pi$ . Por ejemplo algunas fracciones continuas para pi son:

$\pi=[3:7,15,1,292,.....]$ y muchos otros dados aquí .

Del mismo modo, algunas buenas fracciones continuas para $e$ y sus derivadas están dadas aquí Si alguien puede ayudarme sería estupendo (especialmente si hay alguna forma fácil de obtener la fracción continua de las derivadas de e a partir de la fracción continua original de e). $\sqrt e,\frac{e-1}{e+1} $ etc.

Answer 1

Así es como se encuentra la fracción continua para cualquier número. Digamos que el número es $x_0$ .

En primer lugar, dejemos que $a_0$ sea el mayor número entero que no supere $x_0$ . Es decir, $a_0 = \lfloor x_0\rfloor$ . Y que $b_0$ sea la parte fraccionaria de $x_0$ Es decir $b_0 = x_0 - a_0$ . En nuestro ejemplo, $$\begin{align}x_0&=\pi,\\ a_0 &= 3,\\ b_0 &= 0.14159\ldots.\end{align}$$

Ahora escribimos $$\begin{align}x_0 & = a_0 + b_0 \\ & = a_0 + \frac{1}{x_1}\end{align}$$ donde $x_1 = \frac1{b_0}$ . En este caso tenemos $x_1 = \frac{1}{0.14159\ldots} = 7.0625\ldots$ .

Entonces repite: deja que $a_1 = \lfloor x_1\rfloor, b_1 = x_1-a_1,$ y $x_2 = \frac1{b_1}$ . En este caso tenemos $a_1 = 7, b_1 \approx 0.0625\ldots$ y $x_2 = 15.996\ldots$ . En este punto han $$\pi = 3 + \cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15.996\ldots}},$$ y en general $$x_0 = a_0 + \cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{x_2}}$$

Repite de nuevo: deja $a_2 = \lfloor x_2\rfloor, b_2 = x_2-a_2,$ y $x_3 = \frac1{b_2}$ . En este caso tenemos $a_2 = 15, b_1 \approx 0.996\ldots$ y $x_3 = 1.003\ldots$ .

Repita lo que desee, o deténgase si $x_i$ se convierte en 0, lo que ocurrirá si y sólo si el $x_0$ era racional.

El $a_i$ son los términos de la expansión de la fracción continua.

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Para expresiones como $$\frac{e-1}{e+1}$$ hay un algoritmo que se puede utilizar, debido a Bill Gosper, que toma la fracción continua para $e$ como entrada y emite los términos de $\frac{e-1}{e+1}$ como salida. El algoritmo es demasiado largo para describirlo en detalle aquí, pero puede leerlo en La monografía original de Gosper o una explicación más breve aquí. El algoritmo calculará realmente $$\frac{ax+b}{cx+d}$$ para cualquier número entero $a,b,c,d$ y la fracción continua $x$ para $\frac{e-1}{e+1}$ necesitas tomar $a=c=d=1, b=-1,$ y $x=e$ .

Tenga en cuenta que esto no no requieren una aproximación decimal para $e$ todo lo que requiere es la fracción continua para $e$ que es simple: $[2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1\ldots]$ . La monografía de Gosper también da un algoritmo para extraer una fracción continua para $\sqrt x$ cuando la fracción continua para $x$ es conocido.

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Has preguntado cómo saber, al calcular una fracción continua para $\pi$ , la precisión que necesitas en el decimal de entrada. Supongamos que ha calculado que $\pi \approx [p_0; p_1, p_2, \ldots p_n]$ . Entonces sabes que $$[p_0; p_1, p_2, \ldots p_n]\lt \pi \lt [p_0; p_1, p_2,\ldots, p_{n-1}]$$ si $n$ es par, o con las desigualdades invertidas si $n$ es impar. Ahora el $[p_0; \ldots]$ son números racionales, por lo que puedes mirar los denominadores y ver si tu aproximación a $\pi$ era lo suficientemente bueno como para justificar fracciones continuas de esa precisión.

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También preguntaste cómo, si no tienes ya una expansión decimal para $\pi$ se puede calcular la fracción continua. La respuesta es que se calcula de la misma manera que se calcula la expansión decimal de $\pi$ en primer lugar: utilizando los términos de una serie infinita. Por ejemplo, se puede utilizar la conocida serie $$\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{k+1} k!^2}{(2k+1)!}=\pi.$$ Cada término de esta serie es un único número racional. Se puede empezar con $x=0$ y utilizar el algoritmo de Gosper para acumular los términos en $x$ extrayendo un término de salida cuando sea posible, porque $x' = x+\frac pq = \frac{qx+p}{0x+q}$ que tiene la forma requerida. Siempre que la parte entera de $x$ y $x'$ es el mismo, es decir, el siguiente término de la fracción continua para $\pi$ ; en caso contrario, fijar $x<-x', x'<-x'+\frac pq$ donde $\frac pq$ es el siguiente número racional de la serie, y continúa. (Descargo de responsabilidad: en realidad no he probado esto, pero podría funcionar).

Answer 2

Recientemente he tenido algunas dudas sobre el uso de los otros métodos enumerados para calcular fracciones continuas. Parece muy inconveniente que se requiera una muy buena aproximación decimal de tu número antes de calculando los convergentes que quieras.

Aquí es un artículo de Shiu que ofrece un algoritmo para calcular fracciones continuas sin necesidad de conocer más dígitos decimales en cada etapa; sólo requiere su número ( $\pi$ en su caso) para ser un cero de una función diferenciable suficientemente agradable. Aquí está el resumen:

Se da un algoritmo para el cálculo de las expansiones de fracciones continuas de números que son ceros de funciones diferenciables. El método es directo en el sentido de que requiere evaluaciones de la función en los pasos apropiados, en lugar del valor del número como entrada para entregar la expansión. También se dan datos estadísticos sobre los primeros 10000 cocientes parciales para varios números reales.

En cuanto a demostrar que un número tiene una fracción continua determinada, es mucho más difícil. Por ejemplo, no se conoce ningún patrón para los convergentes de $\pi$ (y si pudieras encontrar uno, sería bastante monumental). $e$ es especial porque su fracción continua sigue un patrón conocido, que se puede demostrar utilizando la llamada Aproximaciones de Padé . Ver una prueba aquí .

Answer 3

Un método claro para construir una fracción continua para $\pi$ es utilizar la fórmula de adición para $\arctan$ : $$\arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right)$$

que también puede escribirse

$$\arctan\left(\frac{1}{x}\right) + \arctan\left(\frac{1}{y}\right) = -\arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) = \arctan\left(\frac{1}{x - \frac{1+x^2}{x+y}}\right)$$

Aplicando esta fórmula una vez más se obtiene $$\arctan\left(\frac{1}{x}\right) + \arctan\left(\frac{1}{y}\right) + \arctan\left(\frac{1}{z}\right) = \arctan\frac{1}{z-\frac{1+z^2}{z + x - \frac{1+x^2}{x+y}}}$$

y por inducción llegamos a

$$\arctan\left(\frac{1}{x_1}\right)-\arctan\left(\frac{1}{x_2}\right)+\arctan\left(\frac{1}{x_3}\right) - \ldots = \arctan\cfrac{1}{x_1+\cfrac{1+x_1^2}{x_2-x_1 + \cfrac{1+x_2^2}{x_3 - x_2 + \ddots}}}$$

Si ahora dejamos que $x_k = \frac{2k-1}{\epsilon}$ forman una serie aritmética entonces

$$\sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1}\arctan\left(\frac{\epsilon}{2k-1}\right) = \arctan\cfrac{\epsilon}{1+\cfrac{1+\epsilon^2}{2 + \cfrac{9+\epsilon^2}{2 + \cfrac{25+\epsilon^2}{2 + \ddots}}}}$$

Dividiendo por $\epsilon$ y tomando $\epsilon\to 0$ nos da

$$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots = \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{9}{2 + \cfrac{25}{2 + \ddots}}}} = \frac{\pi}{4}$$

ya que la serie de la izquierda es sólo Fórmula de Leibniz para $\frac{\pi}{4}$ . Esto se puede utilizar para generar otras fracciones continuas simples con suma conocida tomando $x_k = \frac{ak+b}{\epsilon}$ (siempre que seamos capaces de evaluar $\sum(-1)^{k-1}\frac{1}{ak+b}$ ). El valor de esta fracción continua particular fue encontrado por primera vez por Brouncker y me encontré con ella, y con el método utilizado para generarla, en un artículo de Viggo Brun en una vieja revista de matemáticas de los años 50 (no se especificaba qué método utilizó Brouncker para derivarla, aparte de que la derivó después de conocer Fórmula del producto Wallis ).

Answer 4

Los dígitos de una fracción continua vienen dados por

$$a_0 = x$$ $$a_n = (a_{n-1} - \lfloor a_{n - 1}\rfloor)^{-1}$$

$$d_n = \lfloor a_n \rfloor$$

Fracción continua para $\pi$ :

$$\begin{array} {c|c c|c} n & & a_n & d_n \\ \hline 0 & & 3.1416 & 3 \\ \hline 1 & 0.1416^{-1} & = 7.0625 & 7 \\ \hline 2 & 0.0625^{-1} & = 15.9966 & 15 \\ \hline 3 & 0.9966^{-1} & = 1.0034 & 1 \\ \hline 4 & 0.0034^{-1} & = 292.6346 & 292 \\ \hline 5 & 0.6346^{-1} & = 1.5758 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Fracción continua para $e$ :

$$\begin{array} {c|c c|c} n & & a_n & d_n \\ \hline 0 & & 2.7183 & 2 \\ \hline 1 & 0.7183^{-1} & = 1.3922 & 1 \\ \hline 2 & 0.3922^{-1} & = 2.5496 & 2 \\ \hline 3 & 0.5496^{-1} & = 1.8194 & 1 \\ \hline 4 & 0.8194^{-1} & = 1.2205 & 1 \\ \hline 5 & 0.2205^{-1} & = 4.5356 & 4 \\ \hline \end{array}$$

Fracción continua para $\sqrt{e}$ : $$\begin{array} {c|c c|c} n & & a_n & d_n \\ \hline 0 & & 1.6487 & 1 \\ \hline 1 & 0.6487^{-1} & = 1.5415 & 1 \\ \hline 2 & 0.5415^{-1} & = 1.8467 & 1 \\ \hline 3 & 0.8467^{-1} & = 1.1810 & 1 \\ \hline 4 & 0.1810^{-1} & = 5.5250 & 5 \\ \hline 5 & 0.5250^{-1} & = 1.9049 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Fracción continua para $\frac {e - 1} {e + 1}$ :

$$\begin{array} {c|c c|c} n & & a_n & d_n \\ \hline 0 & & 0.4621 & 0 \\ \hline 1 & 0.4621^{-1} & = 2.1640 & 2 \\ \hline 2 & 0.1640^{-1} & = 6.0993 & 6 \\ \hline 3 & 0.0993^{-1} & = 10.0711 & 10 \\ \hline 4 & 0.0711^{-1} & = 14.0554 & 14 \\ \hline 5 & 0.0554^{-1} & = 18.0454 & 18 \\ \hline \end{array}$$

Es más un cálculo que una prueba. Sólo asegúrate de tener suficientes dígitos. Cuando empiezas a mirar las fracciones continuas que son patrones, entonces establecer el patrón realmente requiere técnicas de prueba en lugar de sólo aritmética.