¿Qué es un grupo cuyo grupo de automorfismos no es abelian?

Question

Recientemente asistí a una entrevista de admisión a los programas de posgrado en Matemáticas. Las entrevistas, el profesor me hizo una pregunta - dime un grupo cuyo grupo de automorfismos no es abelian.

Porque yo estaba demasiado nervioso, no podía pensar en nada sustancial.

Podría alguien por favor decirme, en tal situación, ¿cuál es la forma lógica de deducir la respuesta a una pregunta formulada por el entrevistador?

Muchas gracias por su ayuda!

Answer 1

Deje que $A$ ser cualquier grupo no trivial. Entonces $\operatorname{Aut}(A\times\veces Una)$ sin duda $S_3$ como un subgrupo (por permutación de los sumandos)

Answer 2

Los más pequeños contra-ejemplo :

$$Aut(\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}})=S_3$$

Los tres no-cero elementos son de libre permutada.

Ahora, con esta pregunta, usted tiene dos maneras, ya sea tomar un no-conmutativa grupo con trivial en el centro, en cuyo caso usted tendrá $G=G/Z(G)=Inn(G)$ por lo tanto no conmutativa subgrupo de $Aut(G)$ o también se puede considerar la siguiente propiedad que no es difícil mostrar: $\underline{\text{finito}}$ Abelian grupo $De$ tiene un abelian automorphism grupo si y sólo si $a$ es cíclico.

Algo menos intuitivo : No existe no abelian grupos con abelian automorphism grupo.

La prueba de $Un$ abelian no cíclico implica que $Aut(A)$ no es conmutativa va como sigue : sabemos que un grupo abelian $A$ es el producto directo de su $p$-Sylows :

$$A=S_1\...\times S_r$$

Claramente, debe ser controlado, el $p$-Sylows son característicos) esto conduce a :

$$Aut(A)=Aut(S_1)\...\times Aut(S_r)$$

Por lo tanto, es suficiente para comprobar la propiedad de abelian $p$-grupos. Ahora suponga que $A$ es un abelian $p$y que $a$ es no-cíclico, entonces tenemos que :

$$A=\frac{\mathbb{Z}}{p^{a_1}}\times...\times \frac{\mathbb{Z}}{p^{a_r}}$$

y $r\geq 2$. Ahora definir :

$$B_1=\frac{\mathbb{Z}}{p^{a_1}}\times...\times \frac{\mathbb{Z}}{p^{a_{r-2}}}$$

$$B_2=\frac{\mathbb{Z}}{p^{a_{i-1}}}\times \frac{\mathbb{Z}}{p^{a_r}}$$

Tenemos que $Aut(A)$ $Aut(B_1)\times Aut(B_2)$. Voy a demostrar que $Aut(B_2)$ no es conmutativa. Definir $e_1$ y $e_2$ a ser, respectivamente, el elemento $(1,0)$ y $(0,1)$ de los respectivos pedidos de más de $p^{a_{i-1}}$ y $p^{a_r}$. Ahora tienes dos automorfismos :

$$\phi_1\text{ definido por }\phi_1(e_1):=e_1\text{ y } \phi_1(e_2):=e_1+e_2$$

$$\phi_2\text{ definido por }\phi_2(e_1):=e_1+p^{a_r-a_{i-1}}e_2\text{ y } \phi_1(e_2):=e_2$$

Me dicen que este define el grupo de morfismos (basta comprobar que $\phi_i(e_1)$ es del orden de $p^{a_{i-1}}$ y $\phi_i(e_2)$ es del orden de $p^{a_{r}}$). En segundo lugar se surjective por lo tanto bijective por lo que son el grupo de automorfismos de $B_2$. Ahora :

$$\phi_1\circ\phi_2(e_2)=e_1+e_2$$

$$\phi_2\circ\phi_1(e_2)=\phi_2(e_1+e_2)=e_1+(1+p^{a_r-a_{i-1}})e_2$$

Claramente tenemos : $\phi_1\circ\phi_2\neq \phi_2\circ\phi_1$. Por lo tanto, hemos definido dos no de desplazamientos de los automorfismos cual implica que $Aut(B_2)$ no es conmutativa, por tanto $Aut(A)$ no es conmutativa así.

Answer 3

Vista de un espacio vectorial como un grupo abelian. A continuación, el grupo lineal general serán incluidos en el grupo de automorfismos del espacio vectorial. Desde el grupo lineal general no suele ser abelian, esto le da un montón de ejemplos naturales.

Answer 4

Tal vez el ejemplo más fácil es el grupo de $S_3$, que sólo ha interno automorfismos y ha trivial centro. Tenemos $$Aut(S_3)=Inn(S_3)\simeq S_3,$$ que es nonabelian.

Answer 5

$Aut(C_p \times C_p)$ coincide con el conjunto de invertible, transformaciones lineales y así es de $GL(2,\mathbb F_p)$, que no es abelian.