Los más pequeños contra-ejemplo :
$$Aut(\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\times \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}})=S_3 $$
Los tres no-cero elementos son de libre permutada.
Ahora, con esta pregunta, usted tiene dos maneras, ya sea tomar un no-conmutativa grupo con trivial en el centro, en cuyo caso usted tendrá $G=G/Z(G)=Inn(G)$ por lo tanto no conmutativa subgrupo de $Aut(G)$ o también se puede considerar la siguiente propiedad que no es difícil mostrar: $\underline{\text{finito}}$ Abelian grupo $De$ tiene un abelian automorphism grupo si y sólo si $a$ es cíclico.
Algo menos intuitivo : No existe no abelian grupos con abelian automorphism grupo.
La prueba de $Un$ abelian no cíclico implica que $Aut(A)$ no es conmutativa va como sigue : sabemos que un grupo abelian $A$ es el producto directo de su $p$-Sylows :
$$A=S_1\...\times S_r$$
Claramente, debe ser controlado, el $p$-Sylows son característicos) esto conduce a :
$$Aut(A)=Aut(S_1)\...\times Aut(S_r)$$
Por lo tanto, es suficiente para comprobar la propiedad de abelian $p$-grupos. Ahora suponga que $A$ es un abelian $p$y que $a$ es no-cíclico, entonces tenemos que :
$$A=\frac{\mathbb{Z}}{p^{a_1}}\times...\times \frac{\mathbb{Z}}{p^{a_r}}$$
y $r\geq 2$. Ahora definir :
$$B_1=\frac{\mathbb{Z}}{p^{a_1}}\times...\times \frac{\mathbb{Z}}{p^{a_{r-2}}}$$
$$B_2=\frac{\mathbb{Z}}{p^{a_{i-1}}}\times \frac{\mathbb{Z}}{p^{a_r}}$$
Tenemos que $Aut(A)$ $Aut(B_1)\times Aut(B_2)$. Voy a demostrar que $Aut(B_2)$ no es conmutativa. Definir $e_1$ y $e_2$ a ser, respectivamente, el elemento $(1,0)$ y $(0,1)$ de los respectivos pedidos de más de $p^{a_{i-1}}$ y $p^{a_r}$. Ahora tienes dos automorfismos :
$$\phi_1\text{ definido por }\phi_1(e_1):=e_1\text{ y } \phi_1(e_2):=e_1+e_2 $$
$$\phi_2\text{ definido por }\phi_2(e_1):=e_1+p^{a_r-a_{i-1}}e_2\text{ y } \phi_1(e_2):=e_2 $$
Me dicen que este define el grupo de morfismos (basta comprobar que $\phi_i(e_1)$ es del orden de $p^{a_{i-1}}$ y $\phi_i(e_2)$ es del orden de $p^{a_{r}}$). En segundo lugar se surjective por lo tanto bijective por lo que son el grupo de automorfismos de $B_2$. Ahora :
$$\phi_1\circ\phi_2(e_2)=e_1+e_2 $$
$$\phi_2\circ\phi_1(e_2)=\phi_2(e_1+e_2)=e_1+(1+p^{a_r-a_{i-1}})e_2 $$
Claramente tenemos : $\phi_1\circ\phi_2\neq \phi_2\circ\phi_1$. Por lo tanto, hemos definido dos no de desplazamientos de los automorfismos cual implica que $Aut(B_2)$ no es conmutativa, por tanto $Aut(A)$ no es conmutativa así.