Cómo puede encontrar esta secuencia $a_{n+1}=a_{n}+na_{n-1},$

Question

que $a_{n+1}=a_{n}+na_{n-1},a_{1}=1，a_{2}=2$. encontrar el $a_{n}=?$

mis ideas: $\dfrac{a_{n+1}}{(n+1)!}=\dfrac{1}{n+1}\dfrac{a_{n}}{n!}+\dfrac{1}{n+1}\dfrac{a_{n-1}}{(n-1)!},$

y $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{n!}$, entonces tenemos $(n+1)b_{n+1}=b_{n}+b_{n-1},b_{1}=1,b_{2}=1$, pero me falta,

así que $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^n$ y asumir que $b_{0}=0$

$f'(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}nb_{n}x^{n-1}=1+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(n+1)b_{n+1}x^{n-1}=1+\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(b_{n}+b_{n-1})x^{n-1}=1+\dfrac{f(x)}{x}+f(x)$

entonces $f'(x)-(1+1/x)f(x)=1,f'(0)=1$

así $f(x)=xe^x(\displaystyle\int \dfrac{e^{-x}}{x}dx+c)$

así $c=0$

y $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n!}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\dfrac{x^n}{(n+1)!}$

y mi problema: Cómo puede demostrar que:

IF: $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}x^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n+1}}{n!}\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\dfrac{x^n}{(n+1)!}$

entonces tenemos $b_{n}=\displaystyle\sum_{k=0}^{[n/2]}\dfrac{1}{（n-2k)!2^kk!}?$

Answer 1

Deje $f(x)$ ser la exponencial de la generación de la función de $(a_n)$:

$$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n!} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} b_n x^n,$$

donde $(b_n)$ es como en el OP de la notación. Entonces

$$\begin{align*} f'(x) &= 1 + 2x + \sum_{n=1}^{\infty} (n+2) b_{n+2} x^{n+1} \\ &= 1 + 2x + \sum_{n=1}^{\infty} (b_{n+1} + b_n) x^{n+1} \\ &= 1 + 2x + (f(x) - x) + x f(x). \end{align*}$$

Así tenemos

$$f'(x) - (x+1) f(x) = 1 + x.$$

Multiplicando la integración del factor de $e^{-(x+1)^2 / 2}$, tenemos

$$\left\{ e^{-(x+1)^2 / 2} f(x) \right\}' = (1 + x) e^{-(x+1)^2 / 2}.$$

La integración, hemos

$$e^{-(x+1)^2 / 2} f(x) = - e^{-(x+1)^2 / 2} + c,$$

o, equivalentemente,

$$f(x) = c e^{(x+1)^2 / 2} - 1.$$

Observando que en el $f(0) = 0$, debemos tener $c = e^{-1/2}$ y por lo tanto

$$\begin{align*} f(x) = e^{\frac{x^2}{2}+x} - 1 &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \left( \frac{x^2 + 2x}{2} \right)^n \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} 2^{k-n} x^{2n-k} \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{l=n}^{2n} \binom{n}{2n-l} 2^{n-l} x^{l} \\ &= \sum_{l=1}^{\infty} \left( \sum_{\frac{l}{2}\leq n \leq l} \frac{1}{n!} \binom{n}{2n-l} 2^{n-l} \right) x^{l} \end{align*}$$

Por lo tanto, tenemos

$$a_n = n! b_n = \sum_{\frac{n}{2}\leq k \leq n} \frac{n!}{(2k-n)!(n-k)!2^{n-k}}.$$

Por último, la sustitución de $k \mapsto n-k$, tenemos

$$a_n = \sum_{0\leq k \leq \frac{n}{2}} \frac{n!}{(n-2k)!k!2^k} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{n!}{(n-2k)!k!2^k}.$$

Los siguientes son cálculos de ordenador:

Answer 2

Si $f(x)=\sum_{n\ge 1}a_nx^{n+1}$ entonces $$ x ^ 3f'(x)+(x-1) f (x) + x ^ 3 + x ^ 2 = 0 $