Una confusión sobre el Axioma de Elección y la existencia de ideales maximales.

Question

La prueba del teorema de afirmación de que todo anillo tiene un ideal maximal usa el lema de Zorn o el axioma de elección. Ahora, la definición de anillo, así como la definición de ideal maximal, no dependen del axioma de elección. ¿Es eso cierto? Entonces, dado un anillo debería ser capaz de verificar si tiene un ideal maximal o no sin este axioma de elección. ¿Estoy en lo correcto? Entonces, ¿cómo puede depender la verdad de esta afirmación del Axioma de Elección? ¿Qué está mal con mis suposiciones?

Para hacer mi pregunta más concreta, suponiendo que el axioma de elección es falso, ¿alguien puede darme un anillo que no tenga un ideal maximal? ¿Cómo puede un ideal maximal (asumiendo que el AoC es correcto) convertirse en un ideal no maximal solo asumiendo que el AoC es falso?

PD. Por anillos me refiero a anillos con identidad.

Answer 1

El axioma de elección es de hecho equivalente a la afirmación de que cada anillo unitario conmutativo tiene un ideal maximal.

Dado que la negación del axioma de elección es tan no constructiva como el mismo axioma de elección, solo podemos decir que existe un anillo unitario conmutativo sin un ideal maximal cuando falla el axioma de elección. Los conjuntos que están involucrados en este proceso no son bien ordenables.

Es importante entender que al igual que el axioma de elección solo asegura que ciertos objetos existen; su negación tiene una acción intangible muy similar: solo asegura que algunos conjuntos no pueden ser bien ordenados, algunos órdenes parciales en los que cada cadena está acotada no tendrán elementos maximales, y algunas familias de conjuntos no vacíos no tienen una función de elección. No tenemos medios para saber dónde están estos objetos sin suposiciones adicionales.

Es consistente que el axioma de elección sea válido para cada conjunto que hayas soñado usando, pero luego falle agudamente. En ese universo no puedes imaginar encontrar realmente ese conjunto que no puede ser bien ordenado, o ese anillo sin un ideal maximal, y así sucesivamente. Pero también es consistente que el axioma de elección falle "cerca" y los contraejemplos aparezcan en conjuntos relativamente familiares (objetos relacionados con, o definidos a partir de los números reales, por ejemplo).

La mejor manera de "encontrar" un anillo sin un ideal maximal es seguir la prueba de cómo la existencia de ideales maximales implica el axioma de elección. Estas pruebas a menudo consisten en tomar una familia de conjuntos no vacíos, definir algún anillo (o lo que sea) y usar el ideal maximal para demostrar la existencia de una función de elección. Por lo tanto, comenzar con una familia de conjuntos no vacíos que no tenga una función de elección garantiza que el proceso fracase y que el anillo definido en dicha prueba no tendrá ideales maximales.

Agregado:

Algo que surgió en mi intercambio de comentarios con Trevor Wilson bajo su respuesta, es que los axiomas son sintácticos. Nos permiten escribir pruebas. Me parece, al volver a leer esta pregunta, que piensas algo así:

  

Tomemos un universo de ZFC, $R$ es un anillo unitario y $I$ es un ideal maximal. Ahora simplemente no asumamos que AC es válida. Ahora no podemos demostrar que $I$ es un ideal maximal.

Esto es falso por dos razones principales:

1. Una vez que fijaste un universo de conjuntos, el axioma de elección es verdadero o falso en ese universo. Incluso si no lo asumes, tiene un valor de verdad, y dado que comenzamos desde un universo de ZFC este valor de verdad es realmente verdadero. Simplemente podríamos no poder escribir una prueba desde ZF de que $I$ es maximal, pero esto aún es verdad en ese universo de conjuntos.

   Por lo tanto, cambiar las suposiciones no necesariamente significa que has cambiado tu universo de conjuntos.

2. Si tienes una definición para un anillo (por ejemplo, $\Bbb{R^R}$ con suma y multiplicación punto a punto) entonces el conjunto subyacente real, y más importante aún sus subconjuntos, podrían cambiar entre un universo de teoría de conjuntos y otro. Por lo tanto, por ejemplo, no podemos demostrar a partir de ZF que $\Bbb{R^R}$ tiene un ideal maximal porque hay universos de teoría de conjuntos donde esto es falso. Pero el conjunto subyacente $\Bbb{R^R}$ es muy diferente entre esos universos, y nuevamente, lo más importante es que su conjunto de partes es diferente.

Entonces, para resumir toda mi respuesta (con sus dos adiciones), simplemente quitar la suposición de que el axioma de elección es válido no falsificará el axioma de elección. Podría ser que simplemente no puedas escribir una prueba de que existe un ideal maximal en cada anillo unitario.

Si, sin embargo, te permites cambiar el universo de la teoría de conjuntos, entonces es posible que cierto anillo "pierda" sus ideales maximales, simplemente porque eliminamos esos conjuntos del universo (y en algunos casos hicimos una renovación completa del universo en su totalidad).

Answer 2

¿Cómo puede un ideal maximal (asumiendo que AoC es correcto) convertirse en un ideal no maximal solo con asumir que AoC es falso?

Cambiar su conjunto de axiomas no cambia conjuntos (ni los deja iguales, por cierto.) Solo tiene sentido discutir las propiedades de los conjuntos una vez que hemos fijado axiomas. Su pregunta es análoga a la pregunta "¿cómo puede el par $\{x, y\}$ desaparecer solo asumiendo que el Axioma del Par es falso?" lo cual tampoco tendría sentido. En ambos casos tienes un axioma que te dice que $\exists S\,P(S)$ es verdad donde $P$ es alguna propiedad lógica de conjuntos, y si no tuvieras el axioma, entonces no podrías demostrar la existencia de dicho $S.

El problema con el Axioma de Elección es ciertamente más sutil porque postula la existencia de conjuntos sin dar también una descripción concreta de esos conjuntos de la manera en que el Axioma del Par lo hace. De hecho, es imposible dar una descripción concreta cuando se trata de conjuntos infinitos.

No hay una manera general de considerar conjuntos infinitos como teniendo una existencia independiente de la elección de axiomas para la teoría de conjuntos. Somos seres finitos, por lo que no podemos simplemente "escribir" el conjunto y "verificar" si tiene una propiedad determinada. Cuando decimos algo como "AC implica que el anillo $R$ tiene un ideal maximal," sería un error creer que el anillo $R$—y la colección de todos los ideales de $R"—ya existen como objetos concretos accesibles a nuestros sentidos, independientemente de nuestra elección de axiomas. Si este fuera el caso entonces realmente sería simplemente cuestión de "verificar", pero no es el caso.

Answer 3

Sí, la existencia de ideales maximales en anillos conmutativos no triviales se puede formular en ZF, ¡pero no se puede probar en ZF! De hecho, en ZF esta afirmación es equivalente al axioma de elección. Ver Un camino de rosas de Krull a Zorn. La existencia de ideales primos es más débil, es equivalente al principio del ultrafiltro.

Answer 4

Sí, la definición de ideal maximal no depende del axioma de elección.

Incluso asumiendo que el axioma de elección es verdadero, existen anillos (necesariamente sin identidad) que no tienen ideales maximales. Hay un enlace a un ejemplo de dicho anillo en esta solución: https://math.stackexchange.com/a/258076/29335

Dado que resulta que el AC es de hecho equivalente a que todos los anillos con identidad tengan un ideal maximal, asumir la negación del AC nos permitiría concluir que hay un anillo con identidad que no tiene un ideal maximal.

En cualquier caso, existen ejemplos de rngs sin ideales maximales.

Suena un poco como si estuvieras pensando que "si asumes la negación del AC, entonces los ideales maximales no existen", pero esa no es la negación correcta. La negación correcta es: "Existe un anillo con identidad que no tiene un ideal maximal". No importa si asumes el AC o su negación, los anillos finitos siempre tendrán ideales maximales, por ejemplo.

Answer 5

La cuestión es si existe alguna prueba de la existencia de un ideal maximal en un anillo sin el uso del lema de Zorn u otro equivalente al axioma de elección. No tengo conocimiento de ninguna.