Definición axiomática de una Categoría

Question

Nunca he aprendido mucho de la lógica o teoría de conjuntos, pero estoy tratando de aprender un poco sobre ellos y también sobre la categorial fundamentos de la matemática (por ejemplo, como en "Topoi" por Robert Goldblatt). Al principio, yo tenía la idea de que muchas personas al enterarse de que las categorías podría ser utilizado en lugar de conjuntos: si las categorías se forman a partir de dos CONJUNTOS, cuyos miembros son llamados objetos y flechas, entonces ¿cómo podría el uso de categorías como la fundación no ser circular, que requieren de una descripción formal de los conjuntos antes de la definición de las categorías?

Ahora entiendo que los"objetos" son primitivos en cada sistema, por lo que la anterior es en realidad un no-problema. También entiendo vagamente que la categoría de la teoría evita permitir que la "pertenencia" de la operación en el conjunto de la teoría de las fundaciones como un primitivo concepto en la categorial de la teoría de las fundaciones. Tengo dos preguntas:

1) Dicen que definir "monic" flechas en la categoría de teoría. Es uno simplemente no se les permite tomar algunos de flecha y preguntar, "¿es monic"? Este parece ser acerca de la pertenencia: hay una colección de flechas llamado "monic", y quiero saber si la flecha está en ella o no. La respuesta es simplemente que uno sólo está permitido preguntar a un particular flecha, "¿satisfacen la propiedad de ser monic", pero no está autorizado a considerar la noción de "la colección de todos los monic flechas"? Parece totalmente artificial me permitió estudiar "la colección de flechas" como un primitivo concepto, pero no para ser capaz de considerar "la colección de todos los monic flechas" una vez que la definición de monic se ha hecho.

2) En la p.24 de Goldblatt, por ejemplo, se da una definición axiomática de la categoría, la introducción de las colecciones de las cosas que se denominan objetos y las flechas. Él va a decir que asumimos que hay "operaciones de asignar a cada flecha f un objeto dom f y un objeto cod f". Vamos a suponer que las "operaciones" y "trabajos" como este son primitivos? ¿Hay alguna manera más precisa de axiomatize "operación" que esto? Creo que me sentiría más cómodo con la "pertenencia" como una noción primitiva que con estas "operaciones".

Answer 1

No, una flecha es monic si usted puede demostrar que tiene la propiedad de ser monic. Que no es acerca de la membresía. En la teoría de conjuntos, un conjunto es infinito si tiene ciertas propiedades, pero no hay ningún conjunto de todos los conjuntos infinitos.

En la teoría de conjuntos, sólo hay un tipo de objeto, el conjunto. Hay reglas y relaciones entre estos objetos que no son, sin embargo, representable como conjuntos. De hecho, en la teoría de conjuntos, no hay ningún conjunto de todas las funciones.

En la categoría de teoría, tenemos dos tipos, los objetos y las flechas. Hemos primitivas relaciones entre estos objetos, es decir, por cada flecha no es exactamente un "lado izquierdo" del objeto, y exactamente un "lado derecho" del objeto. Por lo que la propiedad "$x$ es el lado izquierdo objeto de flecha $f$" y "$y$ es el lado derecho objeto de la flecha $f$" son primitivas de la misma manera que en la teoría de conjuntos, $x\in y$ es una primitiva de la relación.

Que son una especie de corregir que sólo demostrar individuales flechas son monic, pero generalmente demostrar que bajo ciertas condiciones, existe un monic flecha de$x$$y$.

Por ejemplo, decir que un objeto $x$ es un objeto inicial en una categoría si, para cada $y$, no es exactamente una flecha de$x$$y$. (Exactamente? La singularidad puede ser declarado sin la teoría de conjuntos, porque se puede afirmar que es: Si $f$ $g$ son flechas de$x$$y$,$f=g$.) A partir de esta definición, se puede demostrar fácilmente que si $x$ es un objeto inicial, y $f$ es una flecha de $x$, $f$ es monic. Así que realmente no estamos demostrando que para un determinado $f$, sólo por una $f$ que existe en un contexto más amplio.

O usted puede agregar un axioma de su categoría: Si $f$ es una flecha de $x$$y$, existe una épica de flecha $p$ $x$ y un monic flecha $i$ $y$tal que $i\circ p$ está definido y $f=i\circ p$. (Su terminología puede variar dependiendo de la forma de escribir de la composición de las flechas.)

Como regla general, en la categoría de teoría, no hablar de la colección de todas las flechas o los objetos, que acaba de propiedades de estado acerca de ellos y diagramas.