La variación de los Parámetros de las Ecuaciones Diferenciales de la Derivación

Question

Por lo que nunca he entendido bien la derivación del método de variación de parámetros.

Consideremos el caso más simple, $$y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)$$

Y homogéneas soluciones es$y_h=c_1y_1+c_2y_2$, y el de adivinar la solución particular es $y_p =u_1y_1+u_2y_2$

Lo que se suele hacer es tomar los derivados de la solución particular y sustituya en el original de la educación a distancia. Lo que también es a menudo hecho es que hemos establecido una restricción $$u_1'y_1 + u_2'y_2=0$$

y esta limitación particular producirá $$u_1'y_1'+u_2'y_2'=f(x)$$

Y lo que a menudo se omite la explicación de $u_1'y_1 + u_2'y_2=0$. Estoy pasando por un libro de Nagle y el escritor acaba de lanzar este de la nada y me obliga a aceptarlo sin entender por qué podemos hacer esto y ¿cómo sabemos que las soluciones que satisfacen esa limitación particular.

Ir a través de otras fuentes (probablemente no fiable), me he encontrado con que tiene algo que ver con el concepto central de simple álgebra. Como lo conocido y lo desconocido, a pesar de que todavía me confunde...

Se dijo que tomó Lagrange (el creador) de un largo tiempo de averiguar este método. Así podría alguien darme una explicación adecuada de por qué esto es cierto? Todas las otras fuentes sólo dice "bien vamos a imponer esta restricción, al lado de pasar..."

Answer 1

Cito aquí una respuesta que dio a una pregunta similar. La notación es la que se utiliza aquí.

Esto está estrechamente ligado al método de osculating parámetros. Supongamos que queremos representar, con coeficientes constantes, algunas de función arbitraria $u(x)$ con dos linealmente independientes de las funciones de $u_1(x)$$u_2(x)$, $$u(x) = A u_1(x) + B u_2(x).$$ En general, esto no puede ser hecho. Lo mejor que podemos hacer es que coincida con el valor de la función y su derivada en algún punto de $x_0$, $$\begin{eqnarray*} u(x_0) &=& A u_1(x_0) + B u_2(x_0) \\ u'(x_0) &=& A u_1'(x_0) + B u_2'(x_0). \end{eqnarray*}$$ Las condiciones por encima de determinar la osculating parámetros, las constantes $A$$B$. $A$ $B$ será diferente dependiendo del punto de $x_0$. En general, este ajuste va a ser pobre en puntos lejos de $x_0$.

El método de variación de parámetros consiste en encontrar el osculating parámetros de $A$ $B$ en cada punto. Es decir, nos vamos a $A$ $B$ funciones de $x$. La condición de que ellos son los osculating parámetros que satisfacen $$\begin{eqnarray*} u_G(x) &=& A(x) u_1(x) + B(x) u_2(x) \\ u_G'(x) &=& A(x) u_1'(x) + B(x) u_2'(x), \end{eqnarray*}$$ tal como se dijo anteriormente. Para la segunda ecuación para sostener que debe ser el caso que $$A'(x)u_1(x) + B'(x)u_2(x) = 0.$$

Answer 2

Usted puede imponer cualquier restricción que desee. Ahora, usted puede o no puede ser capaz de encontrar una solución a la ecuación diferencial que también satisface la restricción...

En este caso, usted elige esa restricción porque hace que la mitad de los términos que se desvanecen antes de calcular la segunda derivada. Si "funciona" en el sentido de que, de hecho, son capaces de encontrar una solución a la original DE después de imponer esta restricción, entonces no hay ninguna razón para mirar atrás (o que se preocupe acerca de ella).

Y, como ustedes saben, de hecho trabajo en ese sentido, y por lo tanto es válida.

Answer 3

Sí, estoy de acuerdo en que la habitual de derivación con el conejo del sombrero no es muy convincente. Aquí es otro. Sabemos que si uno tiene un sistema de ecuaciones lineales $$ \dot x=Ax+f(t), \quad A=(a_{ij})_{n\times n},\quad f\colon \mathbf R\a\mathbf R^n, $$ si uno tiene una matriz fundamental de soluciones $\Phi(t)$ para el sistema homogéneo, entonces el método de variación de parámetros es muy sencillo y no requiere ningún tipo de supuestos adicionales o restricciones. Para aplicar lo que usted necesita para resolver $$ \Phi(t) \dot c(t)=f(t),\quad c(t)=(u_1,u_2) $$ Ahora reescribir la ecuación como un sistema de dos ecuaciones y suponga que tiene una matriz fundamental de soluciones, a la conclusión de que esto es exactamente lo que usted ha escrito ya.